小角X線散乱（SAXS）（5）- 座標系と体積要素（体積素片）dr

体積要素（体積素片）の表現です。直交座標系、極座標系、そして円筒座標系で示しました。

１．直交座標系

1.1 直交座標系の体積要素

直交座標系：$${(x, y, z)}$$
体積要素：$${\mathrm{d} \boldsymbol{r} = \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$

図1 （左）直交座標系の体積要素。体積要素はΔをdに変えたらよい。（右）直方体。

1) 体積要素は、体積素片とも呼ばれます。
2) $${\mathrm{d}\boldsymbol{r}}$$の代わりに、$${\mathrm{d}^3 r}$$や$${\mathrm{d}V}$$と書かれることもあります。

1.2 例題

（例題）図1（右）の直方体の体積$${V}$$を積分を使って求めよ
（解説）体積要素が$${\mathrm{d} \boldsymbol{r} = \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$。$${2\leq x \leq 3}$$、$${1\leq y \leq 3}$$、$${1\leq z \leq 4}$$。 

$$
V=\displaystyle \int_{V} \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \int_2^3 \int_1^3 \int_1^4 \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z =\int_2^3 \mathrm{d}x\int_1^3 \mathrm{d}y\int_1^4\mathrm{d}z \\= \Big [ x \Big]_2^3 \Big [ y \Big]_1^3 \Big[ z \Big]_1^4 = (3-2)\times (3-1) \times (4-1) = 1 \times 2 \times 3 = \boldsymbol{6}
$$

２．極座標系

2.1 復習

$$
l=r\theta
$$

$${l}$$：円弧の長さ、$${r}$$：半径、$${\theta}$$（ラジアン）：中心角

2.2 極座標系の体積要素

極座標系：$${(r, \theta, \varphi)}$$
直交座標系との関係：$${x=r\sin\theta\cos\varphi, \; y=r\sin\theta\sin\varphi, \; z=r\cos\theta}$$
体積要素：$${\mathrm{d} \boldsymbol{r}=r^2 \sin\theta \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi}$$

図2 （左）極座標系の体積要素。体積要素はΔをdに変えたらよい。（右）半径Rの球。

2.3 例題

図2（右）の球の体積$${V}$$を積分を使って求めよ。
（解説）体積要素が$${\mathrm{d} \boldsymbol{r}=r^2 \sin\theta \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi}$$。$${0\leq r \leq R}$$、$${0\leq \theta \leq \pi}$$、$${0\leq \varphi \leq 2\pi}$$。

$$
V=\displaystyle \int_V \mathrm{d} \boldsymbol{r} = \int_0^R \int_0^\pi \int_0^{2\pi} r^2\sin\theta \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi =\\=\int_0^R r^2 \mathrm{d}r \int_0^\pi \sin\theta \mathrm{d}\theta \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi =\left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R \times \Big [\cos\theta\Big]_\pi^0 \times \Big [\varphi\Big]_0^{2\pi}=\\=\displaystyle \frac{R^3}{3} \times 2 \times 2\pi = \displaystyle \frac{\boldsymbol{4\pi R^3}}{\boldsymbol{3}} 
$$

４．円筒座標系

4.1 円筒座標系の体積要素

円筒座標系：$${(\rho, \varphi, z)}$$
直交座標系との関係：$${x=\rho \cos\varphi, \; y=\rho \sin\varphi, \; z=z}$$
体積要素：$${\mathrm{d} \boldsymbol{r} = \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi \mathrm{d} z}$$

図3 （左）円筒座標系の体積要素。体積要素はΔをdに変えたらよい。 （右）底面が半径Rの円柱。90°欠けている。

4.2 例題

図3（右）の円柱（90°欠けている）の体積$${V}$$を積分を使って求めよ。
（解説）体積要素が$${\mathrm{d} \boldsymbol{r} = \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi \mathrm{d} z}$$。$${0\leq \rho \leq R}$$、$${\pi/2 \leq \varphi \leq 2\pi}$$、$${2 \leq z \leq 9}$$。

$$
V=\displaystyle \int_V \mathrm{d} \boldsymbol{r} = \displaystyle \int_0^R \int_{\pi/2}^{2\pi} \int_2^{9} \rho\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}z = \int_0^R \rho\mathrm{d}\rho \int_{\pi/2}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_2^{9}\mathrm{d}z\\ \left[ \displaystyle \frac{\rho^2}{2} \right]_0^R \Big [ \varphi \Big]_{\pi/2}^{2\pi} \Big [ z \Big ]_2^{9} =\displaystyle \frac{R^2}{2} \times \displaystyle \frac{3\pi}{2} \times 7 = \boldsymbol{\dfrac{21\pi}{4} R^2}
$$

---

【免責事項】本記事は単なるメモとして書かれたもので、その正確性を必ずしも保証するものではありません。本記事によって生じたトラブル、損失、又は損害に対して一切責任を負いません。また、著者が所属する組織とは関係ありません。誤りがあればご指摘ください。クレームはご遠慮ください。