祝! ABC予想の証明の査読通過!

2回目の投稿になります。まだ慣れていませんが、探り探り書いてみました。

概要

・望月教授のABC予想の証明が査読通過しました!
・何だか凄い事みたいだけど、ABC予想って問題自体が難しい!
・問題の感覚を掴むために実際に数値計算してみました!

本文

2020年4月3日に望月教授のABC予想の証明が査読通過のニュースが報道されましたね。コロナウイルスで悲観的なムードが漂う中での明るいニュースでした。

査読の通過まで長くじれったい日々だったかと思いますが、これでようやく安堵できたかと思います。
望月教授、査読通過おめでとうございます!

ABC予想って何? どう凄いの?
という事に関しては、お馴染みWikipedia先生が詳しいのでそちらをご覧ください。
ABC予想(Wikipedia)
今回改めて問題そのものを読んでみましたが、ちょっと考えただけではいまいちピンを来ませんでした。直感的にABC予想が正しそうかどうかという感覚が掴めなかったと言ったら伝わるでしょうか。

と言うのも、数学の問題って証明の難しさはさておき、問題の意味が簡単であればちょっと手を動かしてみて正しそうだなぁ(真)、とか、間違ってそうだなぁ(偽)、って手応えを感じるものなんですが、ABC予想は問題の意味が難しくてそういう実感が得られませんでした。
私の場合、これまでrad(ABC)なんて計算した経験がないので、当然と言えば当然なのですが…。

そこで、実際に計算してみることにしてみました。
よく例に出てくる組合せは(A,B,C)=(1,8,9)です。
A=1, B=8, C=9, ε→+0とすると下にようになります。

1 + 8 = 9 > rad(1・8・9) = 1・2・3 = 6

なるほど、条件に合っています。

しかし!

これより先を手計算するには大変です。
例えば、ε=0.1の場合、次の組合せは(A, B, C)=(1, 63, 64)。C<65までにある互いに素な組合せは629組! ((((；ﾟДﾟ))))。
1つの組合せを探すだけで1日作業です。そんな悠長なことはしていられません。
そこで! pythonを使って数値計算してみることにしました!

その結果が↓になります。
● C < 1,000、ε<0.1 の場合

C<1,000の間に約15万組の互いに素な組合せがあるのですが、その内で条件に合う組はたった14個! C > rad(ABC)^(1.1)となる例が非常に少ない事が分かります。

ではCの上限を上げてみるとどうなるか
●C<10,000、ε=0.1の場合

C<10,000の間に約1500万の組合せがあり、その内でヒットするのはたった50組!
Cの上限を10倍(組合せは100倍)にして見つかる数はだいたい3.5倍と、出現頻度が下がりました。
出現頻度が低く、桁が上がるほどに出現頻度が下がる。なるほど、であれば、この条件の組合せは有限個かもしれないな。
と、こうしてABC予想が正しそうという実感を得ることができました。

そうして、こういう感覚を掴むと(ε>0)って条件って要るの?
という疑問が浮かび上がります。

して、その答えは…



必要!



面白いことにε=0の時、つまりC > rad(ABC)の場合、組合せは無限に存在することが分かっているそうです。そのため、εが限りなく0に近い値だとしてもεが0より大きいことが有限個である必須条件になっています。興味深いですね~。

ちなみに各εの場合の組合せの数はWikipedia先生の記事でも見ることができます。
ABC予想-コンピューティングによる成果(Wikipedia)

さて、今回のお試し計算はここまでにしておきますが、実際に計算して見ることで理解が深まり、いっそうABC予想に興味が出てきました。続編を書くことがあれば次はABC予想が正しい(真)とどんないい事があるの? というテーマで深堀したいと思います。

終わり。

動画のプログラム

本記事の動画のプログラムが欲しい!
という方向けに、有料ではありますがダウンロードできるようにしました。
実際に動かしてみたいという方はぜひご購入下さい。↓

ABC予想に適合する組合せを探索するPythonコード(￥500)