ガラポン抽選器の球でも三角山パズルはできる

適度に精度の良い球体であれば三角山パズルを自作することができます。ビー玉はキレイですが重いので落下した時にピースがバラバラになりやすく遊ぶのに気を使います。「ガラポン抽選器の球」で検索すると100個で千円程度で手に入れることができます。直径12mmのものを使いましたが、15mmのものの方が持ちやすいかもしれません。
小さなお子さんのいる家庭では飲み込むと危険なのでビー玉もガラポンの球もダメです。
そんな時はピンポン玉の練習球を使いましょう。ピンポン玉も口に入れてしまうような年頃は、、どうしよう

ガラポン抽選器の球で作った三角山パズル

これは球が小さいし安いので長さ８の三角山です。８段重ねですね。ガラポン玉の個数は何個でしょうか。

正四面体状に球を積み上げた時の球の個数は段数を重ねるごとに、1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455 と増えていきます。三角錐数というのだそうで、２世紀ごろにギリシャでニコマコスが本に書いているとのことです。(Wikipedia「図形数」)
8段目は120個です。
段数をnとしたときに三角錐数Sは
S = n x (n+1) x (n+2) / 6
となります。美しい式ですね。

三角錐数が4の倍数であれば球を4個連結した三角山パズルのピースで正四面体状に組むことができます。
20, 56, 84, 120, 220, 364は4の倍数なので、三角山パズルのピースで組み立てられます。4段、6段、7段、8段、10段、12段・・・連続だったり1段飛ばしだったりしています。

nが偶数の時はOKです。三角山パズルのピースは平面の連結にかぎっているのでn=2の場合だけは例外的にダメです。
nが奇数でもn+1が８の倍数になっている場合はOKです。n=7の時は、
7 x 8 x 9 / 6 = 84
でn+1が8になっています。

そんな理由があって、連続だったり1段飛ばしになっていました。

8段の三角山パズル

段数が多いとむしろ簡単になるのです。