ユニットの色分け

ユニット折り紙をやっていると、

「何色の色を使って、どのように配置すると美しいだろうか」

と考えることがあります。今回はその色の数や配置について考えたいと思います。

多くの場合、１つ１つのユニットは多面体（ここでは、平面のみで構成される立体のこと）の辺、頂点、面のいずれかに対応しています。

例えば立方体は辺の数が12本、面が6個、頂点が8個ですから、ユニット折り紙で立方体を作ろうとすると12枚か6枚か8枚で作ることが多いでしょう。

ですので、ユニット折り紙の配色を考えることは、多面体の辺や頂点、面に色をつける問題とほとんど同じであると言えます。

では手始めに立方体の辺の色を塗ることを考えてみましょう。

まずは何色で塗り分けるか。どうせなら、（数学的に？）美しい塗り分け方にしたいですよね？そこで、次のような条件を考えてみましょう。

どの色も使う枚数は同じ

つまり、赤、青、緑の3色で立方体の辺を折るんだとしたら、それぞれ4本ずつにしましょう、ということです。赤だけが極端に多いとか、そういうのはなしにしましょう（美しくないということにしましょう）という話です。

さて、立方体の辺の数は12本でしたから、何色で折るのが良さそうでしょうか。これは約数に関係しています。

結論を先に言ってしまうと、

1色、2色、3色、4色、6色、12色が候補になります。

どれも12を割り切ることができる数字です。

1色で12本の辺を塗るときは塗り分けも何も無いですね。全部同じ色です。これはある意味美しいと思います。

12色で塗り分ける場合は全部違う色です。

このように全部同じ色、全部違う色で塗り分けることを自明な塗り分けと呼ぶことにしようと思います。

よって残る候補は2、3、4、6色です。

もうひとつ大事な条件として

隣り合うユニットは違う色にしたい

というのがあると思います。立方体は1つの頂点に辺が3本集まっていますから、2色の塗り分けでこの条件を満たすことはできません。

よって残る候補は3、4、6色です。

3色の場合を考えると、ひとつの頂点に着目すれば下の図のようになります。

さらに次の頂点を考えると以下の2つの場合があることがわかります。

ここから先は、どのような塗り分けができるか自分で考えてみましょう。

4色の場合、6色の場合はどのような塗り分けができるでしょうか。

そもそも4色や6色の場合に美しい塗り分け方が存在するのでしょうか。

考えてみてください。

（ここから先に本文はありません。投げ銭スタイルのノートです。）