京大理系数学2021を解く　大問1

2021年に実施された京都大学の入試のうち、数学(理系)の問題について詳しく見ていく。

大問1

独立した小問2つからなる大問で、空間ベクトルと確率からの出題となっている。難易度としては問1はかなり簡単で平面に関して対称というのは出題されやすい題材なのでぜひとも正答したい。問2はn回目とか書いてはいるが、ただの見かけ倒しに過ぎない。一応確率漸化式を使うこともできなくはないが、そんなことする必要がどこにもない。
どちらが難しいかとかは考えるまでもないほどで、京大を受ける人がこれを取りこぼすのは普通にありえないレベルの問題である。ここは何があっても間違えられないだろう。
ではやっていこう。

まず(1)だが、1番オーソドックスなのは点Qの座標を文字で置いてしまう解法だろう。

問題で与えられた条件を全て式に直すだけで、一度は5文字になるが、結局は$${x,y,z}$$の連立方程式となってそれを解くだけで答えが出る。連立方程式に関してはまず①、②を⑥に代入することで$${y,z}$$を消去して$${x}$$を求めれば簡単に解ける。
他にも平面$${\alpha}$$に垂直な単位ベクトルと、点Pと平面$${\alpha}$$との距離を求めることによって点Qの座標を求めるとかも出来る。(ただ、明らかに面倒ではある。)
続いて(2)だが、$${n-1}$$回目までと$${n}$$回目に分けて考えるだけである。$${n-1}$$回目までの部分では集合の考え方が出てくるが、よくあるパターンのもので難しくない。次のようにして答えが書ける。

これで終わりなのだが、今回の2問は本当に簡単なので上位大学の受験生はまず落とせないだろう。2021〜23辺りの京大は全体的に簡単な問題が多く出題されているのだが、この問題もその傾向が顕著に現れた一問だろう。こんな問題は普通正答しても差がつかず、落とした人が落ちていくだけになる。10〜15分以内には記述解答込みで完答したいところにはなるのではないだろうか。

大問2へ続く。