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東大理系数学2024を解く　大問5

東京大学で2024年に行われた入試の数学(理系)の問題を思考を交えつつ解いてみる。 大問5 分野は積分、中でも回転体の体積の問題となる。僕は、こういう問題では役に立つかどうかに関係なく、とりあえず軽く図を描くのだがこれを勧めておく。というのも、問題文の情報が具体的にイメージできる上に、平面図形の場合は特に答えにつながるヒントが得られたり、答えの予想が立てられるケースがあるからだ。 ところでなんでこんな話をしたのかというと、実は図が割と役に立つからである。当の本人は後々に

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    • 東大理系数学2024を解く　大問4

      東京大学で2024年に行われた入試の数学(理系)の問題を思考を交えつつ解いてみる。 大問4 関数についての出題でやることが明確っちゃ明確な問題となっている。僕はあまり好きではない。というのもこういう問題は数学の得意苦手に関わらず、ある程度努力をしていたら解法が分からずに詰まるということはない。(特に東大レベルならば数学を苦手としていても手が出ないことはないはず)となるとこの問題の差が出るポイントはやっぱり計算ミスになる。だからそこに気をつけて解いてほしい。 まず(1)だが

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      • 東大理系数学2024を解く　大問3

        東京大学で2024年に行われた入試の数学(理系)の問題を思考を交えつつ解いてみる。 大問3 分野は確率だが、問題が長い。座標平面上の点の位置に関する確率だから、とりあえず視覚的に理解するために座標平面を書きつつ問題を読み進めていく。 まず、(1)へと行きたいところだが奇妙な一文がある。 「ただし、(1)については結論のみを書けばいい」 数学で記述答案を要求してくる東大の問題文にこういう文が出てくるということは、おそらく実験すれば答えは容易に推測がつくが、論理的な証明が難し

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        • 東大理系数学2024を解く　大問2

          東京大学で2024年に行われた入試の数学(理系)の問題を思考を交えつつ解いてみる。 大問2 分野は微分、積分で文字通り手を動かさなければ始まらないからとりあえず問題へと入っていこう。 まず(1)だが積分で表された関数を微分するというのは時々出てくるが、その多くは積分区間に微分する文字が入っているのだが今回はそうではなく積分する関数に$${x}$$が入っている。その点で、見かけ上やったことあるかもと思っても実際ちょっと違うなと感じるだろう。そこでちょっと焦るかもしれないが、

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        東大理系数学2024を解く　大問5

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          東大理系数学2024を解く　大問1

          東京大学で2024年に行われた入試の数学(理系)の問題を思考を交えつつ解いてみる。 大問1 分野は空間図形と領域で、条件に角度が絡むことからおそらくベクトルの内積を使うだろうと考える人が多いと思われる。逆にそれ以外の方法を考えようにもO,A,Pを含む平面を決定しようがないことから直線の方程式を出したり、幾何的に解くのは少し良くないと感じる。 ということで条件をベクトルの内積に寄せる形で変形していこう。 その上でPの座標を$${P(x,y,0)}$$としておく。 すると、元

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          阪大理系数学2024を解く　大問5

          2024年に大阪大学で行われた入試の数学(理系)を思考を交えながら解いていく。 大問5 分野は整数で約数がらみの問題。あるあるパターンの(1)で示した事柄を(2)で使う形となっている。実はオイラー関数というのが題材になっているのだが、僕自身詳しくないのであまり触れないでおく。 ということで早速解いていくのだが、互いに素であるものの個数は数えられないことに気づくだろう。だから、こういう時は余事象を考える時のように互いに素でないものの個数を数えてそれを全体から引けばいいという

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          阪大理系数学2024を解く　大問4

          2024年に大阪大学で行われた入試の数学(理系)を思考を交えながら解いていく。 大問4 分野は数Ⅲの積分、中でも回転体の体積に関わる分野になるのだが、はっきり言ってこの問題はここまでの大問1〜3に比べてとても簡単である。というか2024年の阪大理系数学の5問の中で1番簡単な問題である。つまり、この問題を解けないようでは周りに大差をつけられかねない。たとえ、積分が苦手であったとしてもこの程度ならば阪大を受けるなら絶対取っておきたい。 まず(1)だが、素直にy=tでの断面積

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          阪大理系数学2024を解く　大問3

          2024年に大阪大学で行われた入試の数学(理系)を思考を交えながら解いていく。 大問3 2024年は阪大でねじれの位置が出た直後に京大でもねじれの位置の問題が出て少し話題になったと思われる。ねじれの位置なんてのは中学でやったっきり高校では扱うこともほぼなかったはずだから、それが何なのか分からなければ解こうとすらできない。 一応ねじれの位置とは何なのかを説明しておくと、ねじれの位置というのは「交わらず、平行でもない状態にある2直線の位置関係」のことを指す。交点を持つか否かや

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          阪大理系数学2024を解く　大問2

          2024年に大阪大学で行われた入試の数学(理系)を思考を交えながら解いていく。 大問2 この問題は複素数と軌跡・領域の分野からの出題となるが、個人的にはこの問題が2024年の阪大数学5問の中で1番難しいのではないかと思っている。実際、京大の2024理系数学大問2でも同じような問題が出題されているが、正直京大の方が分かりやすいし、問題自体簡単だと思う。だから、このような問題が苦手な人はぜひ京大の方も解いてみてほしい。(その問題に関しては僕がすでに記事にしているので「京大理系

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          阪大理系数学2024を解く　大問1

          2024年に大阪大学で行われた入試の数学(理系)を思考を交えながら解いていく。 大問1 分野は数Ⅲの微分法と極限で The数Ⅲ みたいな問題である。(主観的ではあるが。) (1)を解いた上で(2),(3)を解けるかどうかが勝負となってくるのではないかと考えている。(1)自体も難しいが、この年の他の問題と見比べてもおそらく(1)は解けないと少し辛くなりそうである。 まず(1)だが、これは$${y=f_{n(x)}}$$と$${y=0}$$の交点が1つであることを示せばいい

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          e(自然対数の底)の値の評価について

          e=2.718…であることは自明としても良いはずではあるが、ここではどうしてもそれに納得がいかない人のために高校数学の範囲内で2<e<3であることを示しておく。 この証明を必要とする場面はほぼ100%ないだろうが、$${log{x}}$$を積分に式変形する部分(普段はこの逆の変形しかしないから見慣れないと思う。)や面積評価で接線を持ち出してきて台形にすることでより細かい評価をする技法というのは他の問題でも役に立つことがあるから、そこは参考にしてみてほしい。(その機会があるか

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          京大理系数学2024を解く　大問6

          2024年に実施された京都大学の理系の入試問題の数学を無理のない考え方で解く。 大問6 この問題は見かけ上かなり難しく見えて、どうしたらいいか分からなくなってしまうかもしれないが、実は基本的なことの組み合わせで解ける。一方で解き方に自由度があまりないので、この問題で重要となるのは、見た目の難しさに怯むことなく基礎に忠実に解くことである。 ということで解き進めていくのだが、見かけでは相当難しくみえるだけあって何をすればいいかが分からなくなる。こういう時はゴールから逆算するの

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          京大理系数学2024を解く　大問５

          2024年に実施された京都大学の理系の入試問題の数学を無理のない考え方で解く。 大問５ ここにきて、典型的な積分と極限の融合問題が出てきて、ここまでの複雑な思考力を求められる問題たちと比べれば、基礎的なことを忠実にこなす能力が求められる問題だと分析している。登場する関数は双曲線関数と呼ばれる有名な関数で、この問題を解くような人ならば、耳にしたことがある人もそれなりにいるだろう。この関数の特徴の1つは微分や積分に強いことである。というのも微分や積分を通じてもあまり形が変わら

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          京大理系数学2024を解く　大問4

          2024年に実施された京都大学の理系の入試問題の数学を無理のない考え方で解く。 大問4 問題の前半は数列かと思いきや、後半はゴリゴリ整数問題というこれまた見た目が難しそうな問題となっている。数学が好きな人なら数列部分を見て、コラッツ予想に似ているなと感じたかもしれないがあまり関係ない。それは置いといて、問題では奇数についてしか触れていないあたり、偶数部分の数列なんて無視していいんじゃないか？ぐらいの憶測を立てられると少し気が楽になる。 解答に進んでいこうと思うのだが、ここ

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          京大理系数学2024を解く　大問2

          2024年に実施された京都大学の理系の入試問題の数学を無理のない考え方で解く。 大問2 この問題は見た目では複素数の問題であるが、変数x,yを元に動くzの動く範囲を求めるというのが問題の核心であることから、軌跡・領域の問題に近いものとして捉えたい。 1変数の問題ならば、除外点に注意しつつ代入なりで片付くケースが多いが、この問題はそうはいかない。 2変数の場合、まず考えつくのは1つの変数を固定する方法、いわゆる予選決勝法などといわれる方法である。今回はそれをベースに解答を書

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          京大理系数学2024を解く　大問3

          2024年に実施された京都大学の理系の入試問題の数学を無理のない考え方で解く。 大問3 大問3はねじれの位置にまつわる問題で分野はベクトルとなっている。前日に行われた大阪大学の入試でもねじれの位置に関する問題が出たことで話題を呼んだが、ねじれの位置について理解していなければこの問題への挑戦権は失われる。 ところで、ねじれの位置とはなんだろうか？ 中学生で学習する分野にあたる以上、京都大学を受験するならば知っていて当然であってほしいが忘れた人も一定数いるであろうことから今一度

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