📏ユークリッドの言論おもしろリファレンス
『原論』には幾何学だけでなく、数論についての記述もある。完全数とメルセンヌ数の関係、素数が無限に存在すること、因数分解についてのユークリッドの補題（ここから素因数分解の一意性についての算術の基本定理が導かれる）、2つの数の最大公約数を捜すユークリッドの互除法などが含まれる。
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ユークリッドの『エレメンツ』は13冊から成る数学書で、古代ギリシャの数学者ユークリッドによって紀元前300年頃に書かれました。以下は各巻の目次の概要です (Clark University) (Wikipedia) (The Far Side)。
第一巻 (Book I): 幾何学の基本。三角形、平行線、面積の理論。定義、公理、共通概念、命題。
第二巻 (Book II): 幾何代数。定義、命題。
第三巻 (Book III): 円の理論。定義、命題。
第四巻 (Book IV): 内接・外接図形の構築。定義、命題。
第五巻 (Book V): 抽象比率の理論。定義、命題。
第六巻 (Book VI): 相似図形と幾何学の比率。定義、命題。
第七巻 (Book VII): 数論の基礎。定義、命題。
第八巻 (Book VIII): 数論における連続比率。命題。
第九巻 (Book IX): 数論。命題。
第十巻 (Book X): 不可通量の分類。定義、命題。
第十一巻 (Book XI): 立体幾何学。定義、命題。
第十二巻 (Book XII): 図形の測定。命題。
第十三巻 (Book XIII): 正多面体。命題。
この『エレメンツ』は、平面および立体のユークリッド幾何学、初等数論、不通量を扱っています。各巻はそれぞれの分野に関連する定義、命題、およびそれらの証明で構成されています。詳細な内容や目次については、以下のリンクで確認できます：Euclid's Elements (Clark University) (The Far Side)。
ユークリッドの『エレメンツ』の内容を現代の観点から分類すると、以下のように「今でも利用されうるもの」と「今では理論が古いもの」に分けられます。
今でも利用されうるもの
第一巻 (Book I): 三角形、平行線、面積の基本理論
理由: 基本的なユークリッド幾何学の理論は、現代でも中等教育や初等教育で教えられています。三角形の合同条件や平行線に関する定理は、日常的な問題解決や工学においても重要です。
第三巻 (Book III): 円の理論
理由: 円周角の定理や接線の性質など、円に関する基本的な定理は現代でも重要です。これらの理論は円の設計や解析において不可欠です。
第七巻 (Book VII): 数論の基礎
理由: 整数の性質や因数分解などの基本的な数論の概念は、暗号理論やアルゴリズムの設計において今でも重要です。
第十一巻 (Book XI): 立体幾何学
理由: 立体の基本的な性質や体積計算などは、現代の建築や工学で重要な基礎知識として利用されています。
今では理論が古いもの
第二巻 (Book II): 幾何代数
理由: 幾何代数は、現代では代数幾何学や線形代数学に取って代わられています。現代の数学ではより一般的で強力な方法が利用されています。
第五巻 (Book V): 抽象比率の理論
理由: 抽象比率の理論は、現代の実数論や数体系に基づく比率の理論に取って代わられています。
第八巻 (Book VIII): 数論における連続比率
理由: ユークリッドの比率の理論は、現代の数論や解析学における厳密な定義に基づく方法に比べると古いです。
第十巻 (Book X): 不可通量の分類
理由: 不可通量の分類は、現代の実数論や集合論に基づくアプローチに取って代わられています。
ユークリッドの『エレメンツ』は、歴史的には非常に重要な文献であり、多くの基本概念が現代でも利用されていますが、特定の分野では現代の理論がより発展したものに取って代わられています。
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