期待値・分散・共分散の性質 - 公式まとめ

期待値

期待値は、確率変数が取る値の「期待される」値を表す。平均は「観測された」値の中心傾向を反映する。（値は同じ）

1.  定数の期待値は定数自体： $${E(c) = c}$$

2. 期待値の定数倍 : $${E(cX) = cE(X)}$$

3. 期待値の和（加法性）:  $${E(X + Y) = E(X) + E(Y)}$$。確率変数が独立または相関している場合でも成り立つ

4. 期待値の線型性:  $${E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y)}$$

分散

分散は、データがその平均からどれだけばらついているかの指標。

1. 定数の分散は０：$${V(c) = 0}$$

   1. $${V(X + c) = V(X)}$$ 定数を加えるとデータは移動するが、相対的な散らばりは変わらない

2. 定数倍の分散は元の分散の定数の二乗倍：確率変数 $${X}$$ の定数倍 $${cX}$$ の分散は $${X}$$ の分散の $${c^2}$$ 倍。$${Var(cX) = c^2 V(X)}$$。

3. 分散の和と差は足し算: $${ V(X ± Y) = V(X) + V(Y) }$$

   1. ただし、変数が独立の場合に限る

   2. 独立でない場合は、$${ V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y) }$$,$${V(X - Y) = V(X) + V(Y) - 2Cov(X, Y)}$$共分散×2だけ引く

4. 期待値から分散を求める：$${V(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2}$$

共分散

２つの変数の期待値の偏差の積 。以下は基本の公式
$${ Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] }$$
⭐️$${Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]}$$

XとYが独立の時、共分散は０になる
$${ E[XY] - E[X]E[Y] = 0}$$
$${ E[XY] = E[X]E[Y] }$$

その他の公式

1. 線型変換した共分散 $${Cov(U, V) = Cov(aX, cY) = a * c * Cov(X, Y)}$$

2. 線型変換した共分散の相関係数 $${r(U, V) = r(aX, cY) = r (X, Y)}$$ ※ aかcどちらがマイナスの場合、共分散も相関係数もマイナスの値になる

3. 和の共分散（分配法則）: $${ Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)}$$