記憶力の悪い私がTaylor展開の導出をまとめてみた

この文章はTaylor展開をなんどやっても覚えられないポンコツ頭の筆者が書いたその導出法の覚書である。

Taylor展開とは

Taylor展開とはある関数を変数の冪級数で展開することである。つまり、

という形に展開するということである。

方針

目的は、上の形に関数を展開することだ。よって関数をこの形に展開できると仮定して、係数a,b,c...を求めることにする。では係数を求めるにはどうすればいいか。ここの発想は少し難しいが、関数f(x)を微分していけばxが消去され係数が求められそうである。
逆に言えば、覚えておくべきなのはこれだけである。「f(x)を微分して係数を求める」。

やってみる

これを微分する。

ここでx=0を代入すると

これで係数aが求まった。
もう一回微分する。

x=0のとき

さらに微分する

x=0のとき

以上より

ということがわかったので、これを元の式に代入すると

この後を想像すると、分母はどうやら4・3・2,その次は 5・4・3・2...となっていきそうである。つまり、4!, 3!である。
式をびっくりで書き換えると、

である。

めでたくTaylor展開を求めることができました！

「何かがわからなくなったら定義に帰る」「自分の知ってる知識を総動員で考える」というのは指導教員の教えです。