PRML 第1章 1.17(標準)

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$$
\begin{array}{ll}
(1.141) & \Gamma(x) \equiv {\displaystyle \int_0^\infty} u^{x-1} e^{-u} du
\end{array}
$$

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解答

　部分積分を実行すると，

$$
\begin{array}{lll}
\Gamma(x+1) &=& {\displaystyle \int_0^\infty} u^x (-e^{-u})' du\\[1.5em]
&=& \Bigl[ -u^x e^{-u} \Bigr]_0^\infty + {\displaystyle \int_0^\infty} xu^{x-1} e^{-u} du\\[1.5em]
&=& x \Gamma(x)
\end{array}
$$

となる．また，

$$
\begin{array}{l}
\Gamma(1) = {\displaystyle \int_0^\infty} e^{-u} du
= \Bigl[ -e^{-u} \Bigr]_0^\infty
= 1
\end{array}
$$

が成り立つ．

　これらを用いて，$${x}$$が整数の場合に

$$
\begin{array}{l}
\Gamma(x+1) = x!
\qquad\qquad\cdots(*)
\end{array}
$$

が成り立つことを，数学的帰納法で証明する．

$${x = 1}$$の場合，

$$
\begin{array}{l}
(左辺) = \Gamma(2) = 1\cdot \Gamma(1) = 1,\\[1em]
(右辺) = 1! = 1
\end{array}
$$

となり$${(*)}$$式は成立する．また，$${x = n}$$の場合に$${(*)}$$式が成り立つと仮定すると，

$$
\begin{array}{l}
\Gamma(n+2) = (n+1)\Gamma(n+1) = (n+1)\times n! = (n+1)!
\end{array}
$$

となり，$${x = n+1}$$の場合も$${(*)}$$式が成立する．したがって，数学的帰納法により，$${x}$$が整数の場合，$${\Gamma(x+1) = x!}$$が成り立つ．