PRML 第1章 1.3(標準)

解答

　りんごを$${a}$$，オレンジを$${o}$$，ライムを$${l}$$とする．

$$
\begin{array}{c|ccc}
& r & b & g\\ \hline
a & 3 & 1 & 3\\
o & 4 & 1 & 3\\
l & 3 & 0 & 4\\
\end{array}
$$

りんごを選び出す周辺確率$${p(a)}$$は，

$$
\begin{array}{lll}
p(a) &=& p(a|r)p(r) + p(a|b)p(b) + p(a|g)p(g)\\[1em]
&=& \dfrac{3}{3+4+3}\cdot\dfrac{2}{10} + \dfrac{1}{1+1+0}\cdot\dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{3+3+4}\cdot\dfrac{6}{10}\\[1em]
&=& \dfrac{17}{50}
\end{array}
$$

また，同様の計算により，

$$
p(o) = p(o|r)p(r) + p(o|b)p(b) + p(o|g)p(g) = \dfrac{36}{100}
$$

が得られるので，選んだ果物がオレンジであったとき，それが緑の箱から取り出されたものである確率$${p(g|o)}$$は，ベイズの定理を用いると，

$$
\begin{array}{lll}
p(g|o) &=& \dfrac{P(o|g)P(g)}{P(o)}\\[1em]
&=& \dfrac{\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{6}{10}}{\dfrac{36}{100}}\\[1em]
&=& \dfrac12
\end{array}
$$

となる．