PRML 第1章 1.7(標準)

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$$
\begin{array}{ll}
(1.48) & {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty} \mathcal{N}(x|\mu,\sigma^2) dx = 1\\[1em]
(1.125) & I^2 = {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty} \exp \left( -\dfrac{1}{2\sigma^2}x^2-\dfrac{1}{2\sigma^2}y^2 \right) dxdy
\end{array}
$$

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解答

ヤコビアンは

$$
\begin{array}{l}
J =
\left|
\begin{array}{cc}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta}\\[1em]
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta}
\end{array}
\right|
=
\left|
\begin{array}{cc}
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{array}
\right|
= r
\end{array}
$$

であるから，(1.125)より，

$$
\begin{array}{lll}
I^2 &=& {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty} \exp \left[ -\dfrac{1}{2\sigma^2}(x^2+y^2) \right] dxdy\\[1em]
&=& {\displaystyle \int_0^\infty \int_0^{2\pi}} \exp \left( -\dfrac{1}{2\sigma^2}r^2 \right) rd\theta dr\\[1em]
&=& 2\pi \left[ -\sigma^2 \exp\left( -\dfrac{1}{2\sigma^2}r^2 \right) \right]_0^\infty\\[1em]
&=& 2\pi\sigma^2
\end{array}
$$

となり，$${I = (2\pi\sigma^2)^{1/2}}$$が得られる．

　また，(1.48)左辺を$${y = x - \mu}$$と変数変換して積分することにより，

$$
\begin{array}{lll}
{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty} \mathcal{N}(x|\mu,\sigma^2) dx
&=& \dfrac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/2}} {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty} \exp \left\{ -\dfrac{1}{2\sigma^2}(x - \mu)^2 \right\} dx\\[1em]
&=& \dfrac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/2}} {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty} \exp \left[ -\dfrac{1}{2\sigma^2}y^2 \right] dy\\[1em]
&=& \dfrac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/2}} I\\[1em]
&=& 1
\end{array}
$$

となり，ガウス分布$${\mathcal{N}(x|\mu,\sigma^2)}$$は規格化されていることがわかる．