PRML 第1章 1.9(基本)

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$$
\begin{array}{ll}
(1.46) & \mathcal{N}(x|\mu,\sigma^2) = \dfrac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/2}} \exp \left\{ -\dfrac{1}{2\sigma^2}(x - \mu)^2 \right\}\\[1em]
(1.52) & \mathcal{N}(\mathbf{x}|\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) = \dfrac{1}{(2\pi)^{D/2}} \dfrac{1}{|\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}} \exp\left\{ -\dfrac12 (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\rm T} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\}
\end{array}
$$

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解答

　(1.46)を$${x}$$で微分すると，

$$
\begin{array}{lll}
\dfrac{d}{dx}\mathcal{N}(x|\mu,\sigma^2)
&=& \mathcal{N}(x|\mu,\sigma^2) \dfrac{d}{dx} \left\{ -\dfrac{1}{2\sigma^2}(x - \mu)^2 \right\}\\[1em]
&=& -\dfrac{x-\mu}{\sigma^2}\mathcal{N}(x|\mu,\sigma^2)
\end{array}
$$

となる．$${x = \mu}$$の前後で微分係数の符号が負から正に変わるので，ガウス分布のモードは$${x = \mu}$$である．

　また，(1.52)を$${\mathbf{x}}$$で微分すると，

$$
\begin{array}{lll}
\dfrac{d}{d\mathbf{x}}\mathcal{N}(\mathbf{x}|\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})
&=& \mathcal{N}(\mathbf{x}|\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) \dfrac{d}{d\mathbf{x}} \left\{ -\dfrac12 (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\rm T} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \right\}\\[1em]
&=& -\dfrac12 \mathcal{N}(\mathbf{x}|\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) \dfrac{d}{d\mathbf{x}} \Bigl\{ (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^{\rm T} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \Bigr\}\\[1em]
&=& -\dfrac12 \mathcal{N}(\mathbf{x}|\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) \times 2 (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\\[1em]
&=& -\mathcal{N}(\mathbf{x}|\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) \times (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \boldsymbol{\Sigma}^{-1}
\end{array}
$$

これが$${0}$$となるのは$${\mathbf{x} = \boldsymbol{\mu}}$$のときである．