PRML 第1章 1.15(難問)

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$$
\begin{array}{ll}
(1.133) & {\displaystyle \sum_{i_1 = 1}^D \sum_{i_2 = 1}^D \cdots \sum_{i_M = 1}^D} w_{i_1i_2\cdots i_M} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_M}\\[1.5em]
(1.134) & {\displaystyle \sum_{i_1 = 1}^D \sum_{i_2 = 1}^{i_1} \cdots \sum_{i_M = 1}^{i_{M-1}}} \widetilde{w}_{i_1i_2\cdots i_M} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_M}\\[1.5em]
(1.135) & n(D,M) = {\displaystyle \sum_{i=1}^D} n(i,M-1)\\[1.5em]
(1.136) & {\displaystyle \sum_{i=1}^D} \dfrac{(i+M-2)!}{(i-1)!(M-1)!} = \dfrac{(D+M-1)!}{(D-1)!M!}\\[1.5em]
(1.137) & n(D,M) = \dfrac{(D+M-1)!}{(D-1)!M!}
\end{array}
$$

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解答

　(1.133)は添え字$${i_k}$$の入れ替えに対して対称であるから，$${D \geq i_1 \geq i_2 \geq \cdots \geq i_{M-1} \geq i_M \geq 1}$$の範囲で和をとればよく，(1.134)のように書き直せる．

　また，$${M}$$次における独立なパラメータの数は

$$
\begin{array}{lll}
n(D,M) &=& {\displaystyle \sum_{i_1 = 1}^D \sum_{i_2 = 1}^{i_1} \cdots \sum_{i_M = 1}^{i_{M-1}}} 1\\[1.5em]
&=& {\displaystyle \sum_{i_1 = 1}^D} \left\{ {\displaystyle \sum_{i_2 = 1}^{i_1} \cdots \sum_{i_M = 1}^{i_{M-1}}} 1 \right\}\\[1.5em]
&=& {\displaystyle \sum_{i_1 = 1}^D} n(i_1,M-1)
\end{array}
$$

となり，(1.135)の関係を満たす．

　(1.136)で$${D=1}$$とすると，

$$
\begin{array}{l}
(左辺) = \dfrac{(M-1)!}{0!(M-1)!} = 1,\qquad
(右辺) = \dfrac{M!}{0!M!} = 1
\end{array}
$$

となり，左辺と右辺は等しい．

以下，解けたが検算中．