PieceCHECK(2024-3) 3次方程式の実数解

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【お知らせ】数学の問題集『Principle Piece』はほぼ全分野販売中です！！

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。
そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。23年の同志社大学文系で出題された3次方程式の実数解に関する問題です。

思考時間は約5分、目標解答時間はそこから約10分です。

解説・原則など

微分法の単元の問題で、入試問題としては基本的な問題ですが、本問だけで複数の原則が学べます。

まず、3次方程式は定数$${m}$$が定数項だけに入っているので、定数分離して視覚化の原則がもろに使えます。

文字入りの方程式は定数分離で視覚化

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～微分法～』p.42

$${m=}$$に直したときの右辺の関数の増減を調べて、その極値の間であれば3つの異なる実数解をもちます。

極値の計算が不安な場合は、極値の差を取ることで検算することが可能です。3次関数の極値の差は積分法の「6分の公式」の活用で簡単に計算できます。

3次関数の極値の差 → 「6分の公式」の活用も

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～微分法～』p.83

後半は$${\gamma}$$の取りうる値ですが、極大値と同じ値をとる$${x}$$の値がポイントになることが分かります。こちらは、極値付近の3次関数の性質をおさえておくことで、答えは簡単に特定できます。

極値付近の3次関数の特徴をおさえよ　(図は割愛)

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～微分法～』p.74　こちらは図も載ってます。

これにより、求める$${x=\displaystyle\frac{5}{2}}$$とすぐにわかります。答案では、因数分解をして求めたフリをしておけばOK。

$${y=極大値}$$は極大点における接線ですので、接点以外の交点を求めることと同じですから、こちらの原則でもいいですね。

3次関数の接点以外の交点は解と係数の関係でサボる

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～微分法～』p.60

これで、$${\gamma }$$の範囲は視覚的にわかりますね。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を「Principle(原則)」を紹介しながら解説していくことで、「なぜそれが思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

解答

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