好きな問題

こんばんは. pomodor_ap です. 記事が書きたくなったので，今日は最近解いて面白かった幾何の問題を紹介します. 

問題

鋭角三角形 $${ABC}$$ について，外心・垂心を $${O, H}$$ とし，$${BH}$$ と $${AC}$$ の交点を $${E}$$，線分 $${HB, HO}$$ の中点をそれぞれ $${M, N}$$，三角形 $${AEM}$$ の内心を $${I}$$，$${ME}$$ と $${AI}$$ の交点を $${J}$$ とすると，$${AO=20, AN=17, \angle ANM=90^{\circ}}$$ が成立しました. $${\dfrac{AI}{AJ}}$$ の値を求めてください.
$${(OMO Fall 2019 Problem 19)}$$

難易度は JMO 予選 8～10 番級程度，OMC だとやや難しめの 400 点くらいでしょうか. 

解説

$${\angle ANM=\angle AEM=90^{\circ}}$$ なので，$${A, E, N, M}$$ は共円. 
また，$${N}$$ は三角形 $${ABC}$$ の九点円の中心であり，$${M, E}$$ は三角形 $${ABC}$$ の九点円上にあるから，$${NM=NE}$$ である. （これは有名事実として知られています. ）
よって，$${\angle MAN=\angle EAN}$$ だから，$${I}$$ は線分 $${AN}$$ 上にある. 
ここで，三角形 $${ABC}$$ の外接円の半径は $${20}$$ であるから，九点円の半径は $${20/2=10}$$. よって，トリリウムの定理とあわせて，$${NM=NI=NE=10}$$. ここで，$${J}$$ は線分 $${AN}$$ 上にあり，$${\angle NMJ=\angle NEM=\angle NAM}$$ なので，三角形 $${NMJ}$$ と $${NAM}$$ は相似. したがって，$${AI:IJ=AM:MJ=NA:NM=17:10}$$. よって $${AI:AJ=17:27}$$ だから，答えは $${ \textbf{17/27} }$$. 

九点円・内心などいろんなものの性質が詰まっていて，とても教育的で好きです. 

図を載せておきます