【大学受験】 数学　数学のちょっとした雑学！〜パスチャレ#420〜

　皆さんこんにちは、とぅーです。

　なんというか、お久しぶり！って感じがしますね。高3生だったみなさん、まずは受験お疲れさまでした！結果は人それぞれだったと思いますが、とりあえず、長い期間よく頑張りました。もう一年頑張る！という人は、一緒に頑張りましょうね！

　さて、かくいう私も先日大学の成績発表がありました。「難しいな」と感じていたフーリエラプラス解析という科目の単位がとれており、胸をなでおろしたのですが、よく見るとその科目では成績の最高評価をもらった人が1人もいませんでした。（普通の講義はある程度の人数、最高評価をもらう人がいる。）厳しい教授とは聞いていましたが、まさかここまでとは、、、衝撃的でしたね(-_-;)

　さあ、今日のパスチャレです！

　整数と自然数、どちらも無限にありますよね。ただ、整数という範囲が自然数という範囲を覆いつくしているので、なんとなく整数の方が多そうな気もします。では、どうなのか正解を見てみましょう。

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じつは直観に反して、同じものとして扱う、というのが答えなんです！

　そもそも、私たちは何をもって「個数が同じ」と判断するのでしょうか。有限の数の世界で考えてみましょう。

　たとえば、ショートケーキ、チョコケーキ、チーズケーキがあります。そこにAさん、Bさん、Cさんがいるとします。ケーキと人の数は同じですよね。これは「どちらも要素数が3だから」という考え方もできますが、「一人一つずつケーキがもらえるから」という考え方もできると思います。実は、この後者の考え方が重要なんです。

　このケーキの考え方を少し拡大解釈すると、「二つの集合の要素同士に一対一の対応があれば、その集合の要素の数は同じだ」と考えられます。たとえば、（１，２，３）という集合と、（４，５，６）という集合を考えたとき、１に４、２に５、３に６を対応させると、それぞれ1対1対応が作れた（ケーキの例になぞらえて言うと、1というケーキを4さんが、2のケーキを5さんが、3のケーキを6さんが持てている状態）ので、（結果から考えれば当たり前ですが）これらの集合の要素数は等しいことになります。

　では、整数と自然数の場合です。自然数のうち、偶数には整数集合の中の負の数を、奇数には整数集合の０以上の数をそれぞれ1対1対応させようと考えると、
１と-１、３と-2、５と-3、7と-4、、、
2と0、４と1、６と2、8と3、10と4、、、
という対応が作れるので、この2集合は「要素数が同じ」として扱える、というのが数学での考え方です。

　ちなみに先ほどから無限集合に関しては「扱える」と言っているのは、有限でないため数えきれないため、いわば「同じとみなしている」状態だからです。これは集合論の「集合の濃度」という話になりますので、興味のある方は調べてみてください。

　本日のパスチャレは以上になります。最後まで読んでいただいた皆さん、ありがとうございました！！
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同志社大学 理工学部 数理システム学科 2年　とぅー

学科名に「システム」とあるが、機械にはさほど強くない。
もう3年生になることに恐怖を覚えている。