数学メモ.82◆サイコロ3回,最小値と最大値,確率の問題※

高校数学の「確率」の問題を解きます。平凡な解答例を書きました。では、問題と解答例です。

---

【問題】
1個のサイコロを繰り返し3回投げるとき、次の確率を求めよ。
(1)目の最小値が2以下である確率
(2)目の最小値が2である確率
(3)目の最大値が4である確率
(4)目の最大値が6である確率

---

【 解答例 】
サイコロを3回投げて出る目は、$${6^3}$$　通り。

(1)　「目の最小値が2以下」の余事象は、「目の最小値が3以上」であり、3,4,5,6の4個の重複順列だから、$${4^3}$$　通り。
よって、求める確率は、1-$${\cfrac{4^3}{6^3}}$$ = $${1-(\cfrac{2}{3})^3 = 1-\cfrac{8}{27} = \cfrac{19}{27} }$$

(2)　
事象A：目の最小値が2以上である
事象B：目の最小値が3以上である
とする。
Aにおいて、出る目は2,3,4,5,6の5個の重複順列だから、$${5^3}$$　通り
Bにおいて、出る目は3,4,5,6の4個の重複順列だから、$${4^3}$$　通り

よって、目の最小値が2である確率は、
P(A)-P(B)=$${\cfrac{5^3}{6^3} - \cfrac{4^3}{6^3} =\cfrac{125-64}{216} =\cfrac{61}{216}}$$

(3)
事象F：目の最大値が4以下である
事象G：目の最大値が3以下である
とする。
Fにおいて、出る目は1,2,3,4,の4個の重複順列だから、$${4^3}$$　通り
P(F)=$${\cfrac{4^3}{6^3}}$$

Gにおいて、出る目は1,2,3の3個の重複順列だから、$${3^3}$$　通り
P(G)=$${\cfrac{3^3}{6^3}}$$

よって、目の最大値が4である確率は、
P(F)-P(G)=$${ \cfrac{4^3}{6^3} - \cfrac{3^3}{6^3} = \cfrac{64-27}{216} = \cfrac{37}{216} }$$

(4)
事象X：目の最大値が6以下である
事象Y：目の最大値が5以下である
とする。
P(X)=1
Yにおいて、出る目は1,2,3,4,5の5個の重複順列だから、$${5^3}$$　通り
P(Y)=$${\cfrac{5^3}{6^3}=\cfrac{125}{216}}$$

よって、目の最大値が6である確率は、
P(X)-P(Y)=$${1-\cfrac{125}{216}=\cfrac{91}{216} }$$

---

感想
分かりにくいので整理する。
「最小値が2」は、「最小値が２以上」から「最小値が3以上」を除いたものだ。　
「最大値が4」は、「最大値が4以下」から「最大値が3以下」を除いたものだ。

(最小値が2)=(最小値が２以上) - (最小値が3以上)
(最大値が4)=(最大値が4以下) - (最大値が3以下)
のような考えで引き算する。
最小は１加えて引く、最大は１減らして引く。

数直線的な記号で表すと、
②→　3→
←3　←④ 

解法を知ってないと、この手の問題は効率が悪いので、覚えておこう。

「最大値が3以下」を言いかえ、「1,2,3だけ出る」と解釈して場合の数を出す。これは答えだけみるとコロンブスの卵のように簡単なことだが、実際に的確に円滑にできるかどうかだ。確率分野は「言いかえ」が大事。

結びに一言。この解答例は、私が作成したごく平凡なものです。もし、本番の大学入試会場で高校生ならこう書くだろうという内容で、高校生になりきり、フレッシュな気持ちで解きました。しかし私は趣味の一つとして数学に関心があるだけで、教師でも教育業界の人でもなく、数学を教える立場にはありません。この記事は教材ではなく、素人の私が楽しみで書いた随筆です。もしミスなどがあればご指摘いただれば幸いです。