数学メモ.153◆ベクトルの内積と"なす角"の問題

高校数学の「ベクトル」の問題を解きます。平凡な解答例を書きました。では、問題と解答例です。

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【問題】
0でないベクトル$${ \vec{a} }$$, $${ \vec{b} }$$のなす角をθとする。
| $${ \vec{a}+\vec{b} }$$ |=$${\sqrt{7} }$$と| $${ \vec{a}-\vec{b} }$$ |=$${\sqrt{3} }$$をみたし、$${ \vec{a} +2\vec{b}}$$と$${ \vec{a} - \vec{b}}$$が直交するとき、cos θの値を求めよ。

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【解答例】
| $${ \vec{a}+\vec{b} }$$ |=$${\sqrt{7} }$$ より
$${ (\vec{a}+\vec{b} )^2=7 }$$
$${ |\vec{a}|^2 +2 \vec{a} \cdot \vec{b} +|\vec{b}|^2=7 }$$　…①

| $${ \vec{a}-\vec{b} }$$ |=$${\sqrt{3} }$$　より
$${ (\vec{a}-\vec{b} )^2=3 }$$
$${ |\vec{a}|^2 -2 \vec{a} \cdot \vec{b} +|\vec{b}|^2=3 }$$　…②

①-②より
$${ 4 \vec{a} \cdot \vec{b} =4 }$$
$${ \vec{a} \cdot \vec{b} =1 }$$  …③

このとき①は、
$${ |\vec{a}|^2 +|\vec{b}|^2=5 }$$　…④

また、$${ \vec{a} +2\vec{b}}$$と$${ \vec{a} - \vec{b}}$$は直交するから、
$${ (\vec{a}|^2 +2\vec{b})(\vec{a} -\vec{b}) =0 }$$
$${ |\vec{a}|^2 +\vec{a} \cdot \vec{b} -2|\vec{b}|^2 =0 }$$
$${ |\vec{a}|^2 -2|\vec{b}|^2 +1 =0 }$$　　…⑤　(∵③)

④-⑤より
$${ 3|\vec{b}|^2 =6 }$$
$${ |\vec{b}|^2 =2 }$$
これを④に代入し
$${ |\vec{a}|^2 =3 }$$

$${ |\vec{a}| }$$＞０,$${ |\vec{b}| }$$＞０だから、
$${ |\vec{a}| =\sqrt{3} }$$, $${ |\vec{b}| =\sqrt{2} }$$

よって、
cos θ =$${\cfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}$$ =$${\cfrac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2} } }$$=$${\cfrac{1}{\sqrt{6} } }$$
=$${\cfrac{\sqrt{6}}{6} }$$

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感想
ベクトルの内積と垂直条件で解ける。

結びに一言。この解答例は、私が作成したごく平凡なものです。もし、本番の大学入試会場で高校生ならこう書くだろうという内容で、高校生になりきり、フレッシュな気持ちで解きました。しかし私は趣味の一つとして数学に関心があるだけで、教師でも教育業界の人でもなく、数学を教える立場にはありません。この記事は教材ではなく、素人の私が楽しみで書いた随筆です。もしミスなどがあればご指摘いただれば幸いです。