奇数の不思議＃８（ライプニッツ級数）

奇数の逆数の和（ただし、符号が交互にかわる）がなんと円周率πを４で割った値に収束する、という美しい関係式。

左側にはきれいに奇数（キリのよい数字）が並び、右側には乱数の数字ような円周率π（3.1415926535...)が現れており、不思議だ。ライプニッツはこの式をみて、外交官の道から数学の道へ進んだといわれているらしい。

いろいろなサイトでいろいろな方法で証明されているので、ここであらためて証明しなくてもいいかもしれないがいちおう厳密ではない形で説明しておく。

これがどのように収束するか prolog でみてみよう。なかなか収束しない。

lei(N) :-
   Pi is atan(1.0)*4.0,
   lei_aux(N,1,1,-1.0,Pi),!.
lei_aux(N,N,_,_,_) :- !.
lei_aux(N,M,X,Sign,Pi) :-
   X1 is M*2.0+1,
   Sum is X + Sign*(1.0/X1),
   M1 is M+1,
   Sign1 is -1.0*Sign,
   Sum4 is Sum*4.0,
   write(M),write(':'),write(Sum4),write(','),write(Pi),nl,
   lei_aux(N,M1,Sum,Sign1,Pi).
   
   | ?-lei(200).
1:2.66666666666667,3.14159265358979
2:3.46666666666667,3.14159265358979
3:2.8952380952381,3.14159265358979
4:3.33968253968254,3.14159265358979
5:2.97604617604618,3.14159265358979
6:3.28373848373848,3.14159265358979
7:3.01707181707182,3.14159265358979
8:3.25236593471888,3.14159265358979
9:3.0418396189294,3.14159265358979
10:3.23231580940559,3.14159265358979
11:3.05840276592733,3.14159265358979
12:3.21840276592733,3.14159265358979
13:3.07025461777919,3.14159265358979
14:3.20818565226194,3.14159265358979
15:3.07915339419743,3.14159265358979
16:3.20036551540955,3.14159265358979
17:3.08607980112383,3.14159265358979
18:3.19418790923194,3.14159265358979
19:3.09162380666784,3.14159265358979
20:3.1891847822776,3.14159265358979
21:3.09616152646364,3.14159265358979
22:3.18505041535253,3.14159265358979
23:3.09994403237381,3.14159265358979
24:3.18157668543503,3.14159265358979
25:3.10314531288601,3.14159265358979
26:3.17861701099922,3.14159265358979
27:3.10588973827195,3.14159265358979
28:3.17606517686844,3.14159265358979
29:3.10826856669895,3.14159265358979
30:3.17384233719075,3.14159265358979

​170:3.14744055681042,3.14159265358979
171:3.13577874923024,3.14159265358979
172:3.14737295212879,3.14159265358979
173:3.13584557460718,3.14159265358979
174:3.14730689265875,3.14159265358979
175:3.13591088126274,3.14159265358979
176:3.14724232602195,3.14159265358979
177:3.13597472038815,3.14159265358979
178:3.14717920218086,3.14159265358979
179:3.13603714089953,3.14159265358979
180:3.1471174733095,3.14159265358979
181:3.13609818956294,3.14159265358979
182:3.14705709367253,3.14159265358979
183:3.13615791111122,3.14159265358979
184:3.14699801951231,3.14159265358979
185:3.13621634835328,3.14159265358979
186:3.14694020894309,3.14159265358979
187:3.13627354227642,3.14159265358979
188:3.14688362185202,3.14159265358979
189:3.13632953214226,3.14159265358979
190:3.1468282198063,3.14159265358979
191:3.13638435557653,3.14159265358979
192:3.14677396596614,3.14159265358979
193:3.13643804865348,3.14159265358979
194:3.1467208250031,3.14159265358979
195:3.13649064597496,3.14159265358979
196:3.14666876302331,3.14159265358979
197:3.13654218074483,3.14159265358979
198:3.14661774749546,3.14159265358979
199:3.13659268483882,3.14159265358979

他にも、円周率を求めるためにいろいろな級数がだされている。例えば、マチンの公式は以下のような式だ。こちらは収束が速いようです。ちなみに239は素数です。

| ?-mach(11).
0:3.18326359832636,3.14159265358979
1:3.14059702932606,3.14159265358979
2:3.14162102932503,3.14159265358979
3:3.14159177218218,3.14159265358979
4:3.1415926824044,3.14159265358979
5:3.14159265261531,3.14159265358979
6:3.14159265362355,3.14159265358979
7:3.1415926535886,3.14159265358979
8:3.14159265358984,3.14159265358979
9:3.14159265358979,3.14159265358979
10:3.14159265358979,3.14159265358979
yes

n=10ぐらいで収束する。はやい！