かけ算の不思議＃１（自然数の積）

これも無限大まで掛ける話で、有限回の掛け算では、当然、こんな答えにはならない。この証明でもリーマンゼータ関数が出てくるのだが、詳細な証明は多くのサイトでなされているのでここでは概要のみに留める。不思議なのはキリのよい数字の掛け算なのに、右の答えには「π」3.1415926...が現れていて、しかも平方根にもなっている。不思議だ。

以下のようにゼータ関数を微分し、変形するとゼータ関数の微分値にs=0を代入した数値が関係していることがわかる。

ゼータ関数の微分の特殊値は以下のように求めることができるので、結局、自然数全体の積は√2πとなる。