厳密な三角比の表を作ろう②「18°単位、3°刻みの三角比」（凪ヶ丘）

こんにちは。早速前回の続きを書いていきます。

15°単位の三角比(前回の記事)

18°刻みの三角比

角度が36°, 72°, 72°の二等辺三角形
内部に自身と相似な三角形が存在する

上記のような二等辺三角形を考えます。
$${{△ABC∽△BCD}}$$(相似比は$${1:x}$$)となるので、
$${AD=x,CD=x^2}$$となります。
$${AC=1}$$より、$${x+x^2=1}$$となるので、$${x=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}}$$となります。
点$${A}$$から$${BC}$$に下ろした垂線の足を$${H}$$とすると、
$${cos72°=cos∠ACH=\dfrac{x}{2}=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}}$$となります。
また、点$${B}$$から$${CA}$$に下ろした垂線の足を$${I}$$とすると、
$${cos36°=cos∠BAI=x+\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{1+\sqrt5}{4}}$$となります。

$${0°<θ<90°}$$より、$${sinθ=\sqrt{1-cos^2θ}}$$
$${cosθ=sin(90°-θ)}$$
以上の2式から、$${18°}$$刻みの三角比は以下となります：
$${sin18°=cos72°=\dfrac{-1+\sqrt5}{4} \\\ sin36°=cos54°=\sqrt{1-\left(\dfrac{1+\sqrt5}{4}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4} \\\ sin54°=cos36°=\dfrac{1+\sqrt5}{4} \\\ sin72°=cos18°=\sqrt{1-\left(\dfrac{-1+\sqrt5}{4}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}}$$

sin3°の値は？

それでは、いよいよ細かな角度の三角比を求めていこうと思います。
これまでに求めた三角比は、$${15°,18°,30°,36°,45°,54°,60°,72°,75°}$$のものなので、これらを使って細かな値の三角比を求めて行きましょう。

$${sin3°=sin(18°-15°)}$$なので、加法定理を使って求めましょう。
$${sin3°(=cos87°)=sin18°cos15°-cos18°sin15° \\\ =\frac{-1+\sqrt5}{4}×\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}-\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}×\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} \\\ =\frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt6-\sqrt2-2\sqrt{15+3\sqrt5}+2\sqrt{5+\sqrt5}}{16}}$$

詳細な角の三角比(sin6°～42°)

同様にして、他の角の三角比も求めていきます。

$${sin6°(=cos84°)=sin(36°-30°)=sin36°cos30°-cos36°sin30° \\\ =\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}×\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1+\sqrt5}{4}×\frac{1}{2} \\\ =\frac{\sqrt{30-6\sqrt5}-\sqrt5-1}{8}}$$

$${sin9°(=cos81°)=sin(45°-36°)=sin45°cos36°-cos45°sin36° \\\ =\frac{\sqrt2}{2}×\frac{1+\sqrt5}{4}-\frac{\sqrt2}{2}×\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4} \\\ = \frac{\sqrt{10}+\sqrt2-2\sqrt{5-\sqrt5}}{8}}$$

$${sin12°(=cos78°)=sin(30°-18°)=sin30°cos18°-cos30°sin18° \\\ =\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}-\frac{\sqrt3}{2}×\frac{-1+\sqrt5}{4} \\\ =\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}-\sqrt{15}+\sqrt3}{8}}$$

$${sin21°(=cos79°)=sin(36°-15°)=sin36°cos15°-cos36°sin15° \\\ =\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}×\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}-\frac{1+\sqrt5}{4}×\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} \\\ =\frac{2\sqrt{15-3\sqrt5}+2\sqrt{5-\sqrt5}-\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt6+\sqrt2}{16}}$$

$${sin24°(=cos66°)=sin(60°-36°)=sin60°cos36°-cos60°sin36° \\\ =\frac{\sqrt3}{2}×\frac{1+\sqrt5}{4}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4} \\\ =\frac{\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{10-2\sqrt5}}{8}}$$

$${sin27°(=cos63°)=sin(45°-18°)=sin45°cos18°-cos45°sin18° \\\ =\frac{\sqrt2}{2}×\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}-\frac{\sqrt2}{2}×\frac{-1+\sqrt5}{4} \\\ =\frac{2\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt{10}+\sqrt2}{8}}$$

$${sin33°(=cos57°)=sin(15°+18°)=sin15°cos18°+cos15°sin18° \\\ =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}×\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}+\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}×\frac{-1+\sqrt5}{4} \\\ =\frac{2\sqrt{15+3\sqrt5}-2\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt{30}+\sqrt{10}-\sqrt6-\sqrt2}{16}}$$

$${sin39°(=cos51°)=sin(54°-15°)=sin54°cos15°-cos54°sin15° \\\ =\frac{1+\sqrt5}{4}×\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}-\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{4}×\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{10}+\sqrt6+\sqrt2-2\sqrt{15-3\sqrt5}+2\sqrt{5-\sqrt5}}{16}}$$

$${sin42°(=cos48°)=sin(60°-18°)=sin60°cos18°-cos60°sin18° \\\ =\frac{\sqrt3}{2}×\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}-\frac{1}{2}×\frac{-1+\sqrt5}{4} \\\ =\frac{\sqrt{30+6\sqrt5}-\sqrt5+1}{8}}$$

$${sin48°～87°}$$は、他の内容とともに次のノートで記します。(時間がありませんでした…)