いっきに指数・対数の微分と積分

　数学Ⅱの範囲が一通り理解できている前提で、いっきに指数関数・対数関数の微分・積分までやってしまうためのプリントを作ってみた。A4用紙１枚に収まって、授業１コマ（50分）の半分でやってしまえる。授業の残り半分で「いっきに三角関数の微分と積分」をやって、授業１コマで数学Ⅲの全貌をざっくり見てしまおうという試みだ。
　ところで、以下の話には、教科書の説明と異なっている部分や、直感に頼って厳密さを欠いている部分がある。つまりザツ、念のため。

微分とは

　まず微分の意味を確認しよう。微分の定義は $${f'(x)=\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ 。
　下図で $${\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ は２点を通る直線の傾きを表す。
さらに $${h\to 0}$$ とすると点 A における接線の傾きを表す。

※　上式で$${h \to 0}$$ のとき、分母$${ \to 0}$$ , 分子$${ \to 0}$$ となるが、$${ \dfrac{\to 0} {\to 0}}$$ がどうなるかはマチマチ、モノに依る。

指数の微分

定義 $${f'(x)=\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$ に従って $${a^x}$$ を微分してみよう。
　　$${(a^x)'=\lim_{h\to 0} \dfrac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0} \dfrac{a^{h}-1}{h} \cdot a^x=ka^x}$$
　ここで$${\lim_{h\to 0} \dfrac{a^{h}-1}{h}}$$ は$${a}$$ で決まるある値、つまり$${a^x}$$ を微分すると自分自身の実数倍になる。
そうなると、$${\lim_{h\to 0} \dfrac{a^{h}-1}{h}=1}$$ … ①　となる $${a}$$ が見つかると嬉しいね。
　$${a}$$ がその値のとき $${(a^x)'=a^x}$$ となるということだから。
ところで、①を満たす $${a}$$ の大きさはどれくらいなんだろう？

$${y=a^x}$$ は必ず $${(0 , 1)}$$ を通るので、$${(0 , 1)}$$ での接線の傾きが 1 になればよい。
　そのときの $${a}$$ の値を知りたいわけだ。
$${2^1=2}$$ と $${4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}}$$ を踏まえてグラフを描くと、2<a<4 だと分かる。
ここから先は $${a}$$ と $${h}$$ の値を動かして、エクセルで計算してみよう。（下表の計算式は $${\dfrac{a^h-1}{h}}$$）
　そうすると、2.71<a<2.72 だと分かる。ざっくり 2.7 としておこう。
そして、この値を $${e}$$ で表すことにする。

ここまでの話をまとめると、こう（↓）なる。
　$${e \fallingdotseq 2.7}$$　　$${\lim_{h\to 0} \dfrac{e^{h}-1}{h}=1}$$　　$${(e^x)'=e^x}$$
　（一般の指数関数については、あとで。。。）

対数の微分

指数関数 $${y=e^x}$$ の微分ができれば、対数関数 $${y=\log_ex}$$ の微分もできる。（以下  $${\log_ex=\log x}$$と表す）

▷ $${y=e^x}$$（↔︎$${x=\log y}$$）上の点 $${(x,y)}$$ における接線の傾きが $${e^x}$$
　　　↓  $${x}$$と$${y}$$を入れ替えて　　　　　　　　　　　　　　逆数 ↓
▷ $${y=\log x}$$（↔︎$${x=e^y}$$）上の点 $${(x,y)}$$ における接線の傾きは $${\dfrac{1}{e^y}=\dfrac{1}{x}}$$

つまり、$${(\log x)'=\dfrac{1}{x}}$$
（一般の対数関数については、あとで。。。）

指数・対数の積分

指数・対数の微分ができれば、積分もできる。
　▷ $${(e^x)'=e^x}$$ より $${\int e^x dx=e^x+\mathrm{C}}$$
　▷ $${(\log x)'=\dfrac{1}{x}}$$ より $${\int \log x dx=\dfrac{1}{x}+\mathrm{C}}$$
一般の対数関数については、$${\log_ax=\dfrac{\log_ex}{\log_ea}}$$（底変換公式）を使って、
　$${(\log_ax)'=\left( \dfrac{\log x}{\log a} \right)'=\dfrac{1}{x \log a}}$$
　　　　　　　　　　逆関数　↓ 逆数をとって x と y を入れ替えて
一般の指数関数については、$${(a^x)'=a^x \log a}$$