直線と3次多項式の成す面積（スプライン曲線による補間ー２）

ここではその成す面積が0になる条件を考えます。
続き物なので変数・関数は前回のものを引き継ぎます。

始点が選点を通る場合
図から直線、曲線の関数は

である。
面積を0とすればよいから

である。

として

よって面積が0であるためには

である。

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

終点が選点を通る場合
曲線を

と考え

とすると

面積が0であるためには

である。

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

両端が選点を『通らない』場合
曲線を

とすると

よって面積が0であるためには

である。

-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

曲線と直線の交わり方
直線と曲線が2回交差するとき両端の差が同符号であればよい。
たとえば

直線と曲線が3回交差するとき曲線の導関数は2か所で0を持ち、

かつその2つの極が区間内にあってこれらでの直線と曲線の差が異符号であればよい。
たとえば

2回交差、3回交差のいずれも満たさないとき、1回交差する。（ここでの交差とは、接すること、選点を通ることを除く）