都知事選に見る「べき分布」

56人もの立候補者が立った都知事選が終わった。様々なスキャンダルを抱えながらも、現職の強みを生かした小池氏が圧勝。SNSで爆発的な人気を誇った石丸氏が2位になったが、小池氏とは100万票以上の大差がついた。

1. 小池百合子　　2,918,015

2. 石丸伸二　　　1,658,363

3. 蓮舫　　　　　1,283,262

4. 田母神俊雄　　　267,699

5. 安野貴博　　　　154,638

6. 内海聡　　　　　121,715

7. ひまそらあかね　110,196

なぜ、こんな大差がつくのだろう。もっと接戦になってもおかしくないのでは。。。ということで、統計的に調べてみた。

過去の都知事選を振り返る

これまでの都知事選でも、当選者と次点の候補者には大差がついている。
2012年の都知事選では、猪瀬氏が433万票を獲得、次点の宇都宮氏に300万票以上の差をつけた。

1. 猪瀬直樹　　4,338,936.00

2. 宇都宮けんじ　968,960.00

3. 松沢しげふみ　621,278.00

もっとも接戦となったのは2011年。当選したのは261万票を獲得した石原氏で、次点の東国原氏は169万票なので、90万票以上の差がついている。

1. 石原慎太郎　　2,615,120.00

2. 東国原英夫　　1,690,669.00

3. わたなべ美樹　1,013,132.00

得票数の分布

1999年以降の都知事選について、候補者を得票数の多い順に並べ、その順位と得票数との関係をグラフにした。

東京都知事選における順位と得票数

このグラフで、横軸は順位、縦軸は得票数である。どちらも対数軸になっている。
今回の選挙で1位となった小池氏は、得票数は291万票なので、上のグラフでは、左端（横軸＝１）で、縦軸が291万のところにプロットされている。
そして最下位（56位）の上楽氏は211票なので、上のグラフの右下（横56，縦211）にプロットされる。

このようにプロットしてみると、過去の都知事選の結果が、ほぼ直線上に分布していることがわかる。縦軸も横軸も対数なので、これは、結果がべき分布にしたがっていることを意味する。

今回の選挙での近似式は以下のようになる。ここでxは得票数で、yは順位である。

$$
{y = 2,918,015\ x^{-2.304}}
$$

べき分布とは

べき分布とは、この例のように、ｙがｘのべき乗に比例する分布であり、世の中にありふれている。
パレートの法則とか、20：80の法則などもべき分布であり、億万長者の資産と順位、地震の大きさと頻度などもべき分布に従う。

都知事選のようなものであっても、これだけ有権者が多くいて、立候補者も多くなると、結果はべき分布となる。だれが一位になるかはわからないが、一位から最下位までの得票数は、統計的におおよそ予測できることになる。

一人ひとりは自分の意志にしたがって投票しているが、結果はマクロの法則から逃れられないということだろうか。