高校受験の数学　円に内接する四角形の問題をパターン化してみた！

高校受験の円に内接する四角形の問題は図形最後の難問として出題されていますね。パターンを完全に網羅することはできませんが、一つの道しるべとして使ってみてもらえたらと考え、noteに書いてみました。

①内接する四角形の辺の長さが多く与えられてる場合

これは、高校生なら何も考えず余弦定理で終わり！って感じですが中学生だと難問になってしまいます。ただし、難しいので特殊な三角形の組み合わせ（特別な角、三角定規の角ではない）で誘導つきなどで解けるようにしてありますが、この解法は特別でなくても、辺の長ささえわかっていれば解ける解法です。つまり、足して１８０°になる二つの角に注目し、相似形（辺の長さが同じなら合同）と三平方の定理で解きます。
複雑な式になるのでは？と思うでしょうが、実はうまく消えるようになっています。
このパターンの問題です。👇

東大寺学園高校入試　数学　円に内接する四角形【三平方の定理】

②円に内接する四角形の一つが９０°の場合

①と考え方は同じですが、９０°なので外に線を引いても何も変わりません。
つまり、内部に相似形を作ってみると何かおもしろくなります。
足して９０°になる三角形が隠れていると目星をつけてみて下さい。
このパターンの問題です。👇

２０２２年　神奈川県立高校入試　数学図形　円と相似

③円に内接する四角形の辺の長さはあまり与えられていないが、特別な角度
（３０°、６０°、４５°、７５°等）の場合

①②の考え方は捨てて、特別な三角形の辺を求めることを思い出して解いてみましょう。与えられている辺と、特別な角度を使うことを考えましょう。
簡単に解けるでしょう。
このパターンの問題です。👇

2022 福岡県立高校入試　数学　円・相似・三平方の定理

④内接する四角形辺の延長が円の外で交わる場合

これは、ほぼ間違いなく相似を使います。内接する四角形の対角線を引いて、円の外の頂点とでできる三角形の相似を考えてみて下さい。
トレミーの定理を使って楽になるならこしたことないですが、使わなくても
対角線の辺の比がでるので、立式するヒントは出てきます。
このパターンの問題です。👇

２０２２　愛知県立高校入試　数学図形　三平方の定理・相似

⑤辺の長さも与えられておらず、特別な角度もない場合は、上のパターンはいっさい忘れて、合同、相似、角の二等分線の平面図形だと考えて解いてみて下さい。