ラプラス逆変換　1/(s^2+1)^2

ラプラス逆変換で微分方程式を解こうとした時です。

こんな$${F(s)}$$に出会いました

$$
F(s) = \frac{1}{(s^2+1)^2}
$$

$${\sin(t)}$$のラプラス変換の二乗か…
どうするんだろうか

正直解けませんでした
天才的な発想が降ってきたのでここに書き留めておきます

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それは微分の式を使った解法です
以下の式を使います

$$
\begin{array}{}
\frac{d}{ds} \frac{s}{s^2+1}&=\frac{1-s^2}{(s^2+1)^2}　　　\\
&=\frac{2}{(s^2+1)^2}-\frac{1}{s^2+1}
\end{array}
$$

これで$${1/(s^2+1)^2}$$この形を作ります。
商の微分法と部分分数分解から計算します
目的の形が出てきます

上式を各項ラプラス逆変換します。
s軸の微分に対するラプラス変換は以下になることに注意します

$$
\begin{array}{}
-tf(t)=L^{-1}[\frac{d}{ds}F(s)]
\end{array}
$$

右辺は$${L[\cos(ωt)]=s/(s^2+ω^2)}$$なので

$$
\begin{array}{}
L^{-1}[\frac{d}{ds} \frac{s}{s^2+1}]=-t \cos(t)
\end{array}
$$

また

$$
\begin{array}{}
L^{-1}[ {\frac{1}{s^2+1}}]=\sin(t) \\
\end{array}
$$

これでパーツはそろいました
各項をラプラス変換すると

$$
\begin{array}{}
-t \cos(t)=2L^{-1}[\frac{1}{(s^2+1)^2}]-\sin(t) \\\\
\therefore L^{-1}[\frac{1}{(s^2+1)^2}]= -\frac{t\cos{t}}{2} +\frac{\sin(t)}{2}
\end{array}
$$

以上です
微分を持ちこんで考えるのはうまいなと思いました

ではこれで。