ラプラス逆変換 1/(s^2+1)^2
ラプラス逆変換で微分方程式を解こうとした時です。
こんな$${F(s)}$$に出会いました
$$
F(s) = \frac{1}{(s^2+1)^2}
$$
$${\sin(t)}$$のラプラス変換の二乗か…
どうするんだろうか
正直解けませんでした
天才的な発想が降ってきたのでここに書き留めておきます
それは微分の式を使った解法です
以下の式を使います
$$
\begin{array}{}
\frac{d}{ds} \frac{s}{s^2+1}&=\frac{1-s^2}{(s^2+1)^2} \\
&=\frac{2}{(s^2+1)^2}-\frac{1}{s^2+1}
\end{array}
$$
これで$${1/(s^2+1)^2}$$この形を作ります。
商の微分法と部分分数分解から計算します
目的の形が出てきます
上式を各項ラプラス逆変換します。
s軸の微分に対するラプラス変換は以下になることに注意します
$$
\begin{array}{}
-tf(t)=L^{-1}[\frac{d}{ds}F(s)]
\end{array}
$$
右辺は$${L[\cos(ωt)]=s/(s^2+ω^2)}$$なので
$$
\begin{array}{}
L^{-1}[\frac{d}{ds} \frac{s}{s^2+1}]=-t \cos(t)
\end{array}
$$
また
$$
\begin{array}{}
L^{-1}[ {\frac{1}{s^2+1}}]=\sin(t) \\
\end{array}
$$
これでパーツはそろいました
各項をラプラス変換すると
$$
\begin{array}{}
-t \cos(t)=2L^{-1}[\frac{1}{(s^2+1)^2}]-\sin(t) \\\\
\therefore L^{-1}[\frac{1}{(s^2+1)^2}]= -\frac{t\cos{t}}{2} +\frac{\sin(t)}{2}
\end{array}
$$
以上です
微分を持ちこんで考えるのはうまいなと思いました
ではこれで。
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか?