r^-αの3次元フーリエ変換

0 < α < 3において，r^-αの3次元フーリエ変換が

と表現できることを示します。

極座標の採用

まず積分変数を極座標にすると，

と式変形することができます。

ガンマ関数とx^{1-α}の関係

次に，ガンマ関数

とx^{1-α}を関連付けます。
1 < α < 3の場合，ガンマ関数のxにα-1を代入し，更にt=xsと変数変換すると，

なる関係式が得られます。

1 < α < 3の場合

ガンマ関数とx^{1-α}の関係式を積分に代入すると

が得られます。
最後の部分の式変形は，参考文献1から

が成立することを利用しました。
ガンマ関数と三角関数の間に

が成立するため，

となります。
更にガンマ関数の倍数公式を用いると

なる関係式が得られるため，

となります。
以上をまとめると，

となり，1 < α < 3に対して目的の表式を得ることができました。

0 < α < 1の場合

1 < α < 3の場合と少し異なりますが，似たような式変形をしていくと，

と同じ表式にたどり着きます。

α = 1の場合

α = 1の場合，

となります。
以上より，0 < α < 3において目的の表式を得ることができました。

参考文献

  1. 後藤 憲一他，詳解物理応用数学演習