Bilateral Series Approximationの3次元フーリエ変換

r^-αのBilateral Series Approximation

の3次元フーリエ変換が，0 < α < 3において

となることを示します。
r^-αのBilateral Series Approximationに関しては，以下の記事も併せてご参照ください。

式変形

実際に式変形していきます。

[ ]の前にある因子は

となります。
分母の部分を更に式変形すると

となるため，

となります。
右辺は，r^-αの3次元フーリエ変換のk=1の場合に相当するため，

となります。
以上より，目的の表式を得ることができました。
r^-αの3次元フーリエ変換については以下の記事も併せてご参照ください。

参考文献

1. J. Chem. Phys. 152, 084113 (2020)