Everything You Need to Ace Maths in One Big Fat Notebook 読書ノート 1/3【働学併進#015】

大人になってから数学を勉強しようと考えた人には必ず共通の悩みがあるが、大抵は些末な問題にすぎない。
「まとまった勉強時間が取れない」「今からでも遅くないか」なんて考えてどうにかなる問題なのか。それより勉強したらどうだ。

まぁそれはいい。しかし、数学を本気で勉強しようと決心した人にはより大きな壁が立ちはだかる。
「日本語で数学を勉強して、海外の論文/本を読めるようになるのか？」
普通に勉強しては無理だろう。かといって日本語の数学用語と英語の数学用語を即座に的確に変換してくれるAIはまだない。辞書は調べる時間がかかる。
結局コツコツと基礎から英語で学び直す他ないのだ。
そんな人におすすめなのが以下の本「Everything You Need to Ace Maths in One Big Fat NotebookThe Complete Middle School School Guide」"数学で評価Aを取るために必要な全て: 中学教育の完全な手引書"である。

Everything You Need to Ace Math in One Big Fat Notebook: The Complete Middle School Study Guide (Big Fat Notebooks)

この本はアメリカの中学程度の数学の内容(数、比、方程式、幾何、統計と確率、座標系と関数)がまとまっている本である。
つまり、(理論的には)この本を読み終わったら次は高校程度の数学の本を読めるということだ。
しかも色とりどりな図や絵がふんだんに描かれているため、ただただ語句の説明がまとまった辞書や単語帳よりも断然面白い。
もちろん、別に問題集を買ってサラッと解いてみれば長期記憶に定着しやすくなり、問題文を見るだけでも英語圏での問いの聞かれ方なんかも勉強できるとは思う。でも安心してほしい。基礎的な演習問題ならこの本でも紹介されている。

因みに、この本が和訳されたものは「14歳からの数学」として発売されている。
一体全体どういう感性をしていればこんな和訳になるのか。
正直、この程度の内容を日本語で見直してもなんも面白くないと思うのでぜひ原書の方の購入をご検討いただきたい。
とは言っても、数学の専門書は高額なものも多く、「しばらくは金欠なんだよな」という人のために、今日から前編・中編・後編で(英語で)説明された概念や用語を日本語の数学用語と照らし合わせてまとめる。
前編では、基礎的な数学英語に加えて、「数の分類」と「比」についてをまとめる

Arithmetic Operations

Addition 足し算

• sum 和

• addends 足す数と足される数

• + plus sign

• "7 plus 5 is 12", 7 and 5 is 12", "7 adding 5 is 12"

Subtraction 引き算

• difference 差

• minuend 引かれる数

• subtrahend 引く数

• - minus sign

• "12 minus 5 is 7", "12 takeaway 5 is 7", "12 subtract 5 is 7"

  • 12 is minuend and 5 is subtrahend

Multiplication 掛け算

• product 積

• multiplier 掛ける数

• multiplicand 掛けられる数

• × multiplication sign

• "3 multiplied by 4 is 12", "3 times 4 is 12"
  $${3 \times 4 = 12}$$

  • 3 is multiplier and 4 is multiplicand

私の記憶では掛ける数は後ろに置くように習ったと思うのだが、アメリカでは前に掛ける数、後ろに掛けられる数を置くらしい。確かに台数では数字を変数の前に置くがほんの少し違和感を感じる。

交換法則 Commutative Property や分配法則 Distributive Property は中編にて出てくる。

Division 割り算

• quotient 商

• remainder 余り

• dividend 割られる数

• divisor 割る数

• ÷ division sign

• "12 divided by 3 is 4"
  $${12 \div 3 = 4}$$

  • 12 is dividend and 3 is divisor

• divisible 割り切れる : "Even numbers are divisible by 2."

Even numbers, Odd numbers and Multiples

• even numbers 偶数

• odd numbers 奇数

その他の倍数 Multiples は"◯の倍数"のように"multiples of ◯"といい表す。

1. The Number System

Venn Diagram for numbers from Wikimedia
(数のベン図)

• Whole numbers (該当なし/0を含めた自然数)
  a number with no fractional or decimal part.

• Natural numbers 自然数
  whole numbers from 1 and up.

• Integers 整数
  all whole numbers and their negative counterparts.

• Rational numbers 有理数
  any number that can be written by dividing on integer by another. any number that can be written as a fraction分数 or ratio比.
  Q stands for quotient

• Irrational numbers 無理数
  a number that cannot be written as a simple fraction. (because the decimal goes on forever without repeating)

• Real numbers 実数
  all the numbers that can be found on a number line数直線.

因みに、有理数の循環小数 repeating/recurring decimal の表記法 notation は日本(+イギリス)とアメリカで違う。

• 🇯🇵🇬🇧: 点 dot

  • $${\frac{1}{3} = 0.\dot{3}=0.33333…}$$

  • $${\frac{1}{7} = 0.\dot{1}4285\dot{7} = 0.14285714285714285714…}$$

• 🇺🇸: 線 bar

  • $${\frac{1}{3} = 0.\overline{3}=0.33333…}$$

  • $${\frac{1}{7} = 0.\overline{142857} = 0.14285714285714285714…}$$

因みに、少数 Decimal の整数部分をwhole number part、少数部分をdecimal part と呼ぶ。

Positives and Negatives

number line from Wikimedia
(数直線)

• negative numbers: quantities less than zero
  e.g. $${-1, \frac{11}{45}, -\pi}$$

• neutral number: zero

• positive number: quantities greater than zero
  e.g. $${1, \frac{355}{113}, e}$$

とある数の符号 sign を逆にした数のことを反数 opposite, additive inverse と呼ぶ。
また、正の符号 positive signと負の符号 negative sign のことを併せてopposites 正負(の数)と呼ぶ(実際の数のペアのことを指すときもある)。
この正負の数についての性質 propertyが以下の"property of opposites"なのだが、くだらないから忘れても構わない。

Property of opposites 反対の性質

the sum of a number and its opposite number is zero. 
or
the opposite of the opposite of a number is the number itself.

absolute value 絶対値

the distance from zero on the number line.
絶対値につける線のことも英語ではbarと呼ぶらしい。

Multiples & Factors

• Multiples 倍数: the product of any quantity and an integer. every number has an infinite list of multiples.

  • common multiples 公倍数: any multiples that are the same for two or more numbers.

    • Least Common Multiple(LCM) or Least Common Denominator(LCD): the smallest multiple that 2 or more numbers have in common.

• Factors 約数: a number or quantity that when multiplied with another produces a given number or expression.

  • common factors 公約数: any factors that are the same for 2 or more numbers 

    • Greatest Common Factor(GCF) or Greatest Common Divisor(GCD)最大公約数: the largest factor that both/all numbers share.

Fractions

Fractions are real numbers that represent a part of a whole.

$$
\frac{\rm{part}}{\rm{whole}} = \frac{\rm{numerator}}{\rm{denominator}} = \frac{分子}{分母}
$$

• $${\frac{1}{2}}$$: "one half"

• $${\frac{1}{4}}$$: "one quarter"

  • $${\frac{3}{4}}$$: "three quarter"

• $${\frac{1}{3}}$$: "one third"

"one fifth", "one sixth", "one seventh", "one eighth", "one ninth", "one tenth"…

Type of fractions

• Proper fractions 真分数
  the numerator is smaller than the denominator

• Improper fractions 仮分数
  the numerator is bigger than or equal to the denominator

• Mixed numbers 帯分数
  a fraction with a whole number

Fraction Operations

• simplifying, cross-reducing, canceling 約分
  divide the numerator and the denominator by the GCF.

• find LCD of the 2 denominators, reduce to common denominator 通分する
  英語には、直接通分という意味を表す言葉はないらしい

Remainder 余り

part, quantity, or number left over after division.
e.g. $${23\div8 = 2R7}$$ (R stands for Remainder)

Reciprocal, Multiplicative inverse 逆数

a number which when multiplied by $${x}$$ yields the multiplicative identity, 1. 

Inequalities

An inequality 不等式 is a mathematical sentence that is used to compare quantities and contains one of the following signs.

• a < b: "a is less than b"

  • $${a \le b}$$: "a is less than or equal to b"

• a > b: "a is greater than b"

  • $${a \ge b}$$: "a is greater than or equal to b"

• a ≠ b": "a is not equal to b"

Ratios

A ratio 比 is a comparison of two quantities.
a に対するbの比 the ratio a to b は以下のように書ける

• a : b

• $${\frac{a}{b}}$$

• a to b

• What is the ratio of your friends who has Android phone to your friends who has iPhone?

• What is the ratio of your friends who has iPhone to total number of your friends?

Rate and Unit Rate

a rate 割合 is a special kind of ratio where the two amounts being compared have different units.

a Unit Rate is a rate that has 1 as its denominator.
日本語で言うなら「単位〇〇あたりの△△」

"I can walk 6 kilometer every 40 minutes. What is the unit rate of me?" or
"How many miles per hour can I walk?"

Proportion

a proportion 割合 is a number sentence where two ratios are equal. And two ratios that form a proportion are called equivalent fractions 同値分数.

このように、proportionの「2つの比が等しい」と言う意味から、「比例関係」は英語でproportional relationshipと言われる。
同じように、比例定数はconstant of proportionality もしくはconstant of variationと言われる。

Standard System of Measurement 🇺🇸

アメリカは長さや重さの単位が他の世界と違うことはご存じだろう。彼らは彼ら独自の単位のことをStandard System of measurement と呼んでいる。なんと傲慢な国民なのだろう。
反対に、アメリカ以外の国が用いている(科学分野でも使われている)単位系のことはMetric system of measurementと呼ばれる。

• Length

  • 1 inch (in) = 2.54 cm

  • 12 in = 1 foot (ft) 

  • 3 ft = 1 yard (yd)

  • 1,760 yd = 1 mile (mi)

• Weight

  • 1 pound (lb) = 16 ounces (oz)

    • lb はlibra (ラテン語で秤, ローマ語で重さ)の単位の略なのでLとBである。

    • イギリスの通貨ポンド£もローマ語のLibra poundから由来している

  • 1 ton (t) = 2,000 lb

• Capacity

  • 1 tablespoon (tbsp) = 3 teaspoons (tsp)

  • 1 fluid once (oz) = 2 tbsp

  • 1 cup (c) = 8 oz

  • 1 pint (pt) = 2 c

  • 1 quart (qt) = 2 pt

  • 1 gallon (gal) = 4 qt

Conversions of Standard to Metric

• Length

  • 3.28 feet = 1 meter

  • 1 yard = 0.9144 meter

  • 1 mile = 1.61 kilometers

• Weight

  • 1 ounce = 28.349 grams

  • 1 pound = 453.592 grams = 0.454 kilograms

• Capacity

  • 1 fluid once = 29.574 milliliters

  • 1 pint = 473.177 milliliters = 0.473 liters

  • 1 galon = 3.785 liters

Percent

percent means "per hundred". Percentages 百分率 are ratios that compare a quantity to 100.

英語の文章問題

日本語でも文章から数式に変換することに苦労した人が一部いることは知っている。私も英語の文章問題は自信がない。だからこの本の教えは特に役に立つのではないかとワクワクしている。

1. isを見つけ=と置き換える

2. isの前に書かれている説明を数式に直して=の左へ、isの後に書かれている説明を式に直して=の右へ

3. キーワードに沿って数式を組み立てる

   • "what" or "what number" は変数を表す

   • "of"は掛け算を意味する

   • % やpercent は少数に直す

例題

1. What is 45% of 120 → $${0.45 \times 120 = x}$$

   • x = 54

2. e.g. 74 is what percent of 200? → $${74 = x × 200}$$

   • x = 0.37

Ratio Problem Keywords

比率の計算問題ではよく税金や割引率に加え、アメリカらしくチップが出てくるため、手数料 feeに関わる英語をまとめる。アメリカの税金については後日詳しく調べてみようと思う。

• Taxes 税

  • Sales tax 消費税 (州によって税率が違う)

• Discounts 割引

  • Markups 値上げ

• Gratuity チップ サービスの対価として支払うもの。チップ。

• Commission 手数料 販売するにあたって場所やプラットフォームを利用をした時に払うもの

• Interest 利子

  • I = PRT (interest = principal × interest rate × time)

  • principal 元本 借りたお金

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明日は「数式」「方程式」「確率・統計」についての英語をまとめる。