「感染症の数理モデル（増補版）」で式の間違いっぽいのを見つけた

こんばんは。最近、「感染症の数理モデル（増補版）」（培風館）の「感染症の確率モデルと複雑ネットワーク」で、もしかして間違いではないかなと思うところがあったのでつらつら書いていきたいと思います。

感染症の数理モデル

人生の中で、何度チャレンジしても読むのを諦めてしまう本が幾つかあります。「ドグラ・マグラ」、「百年の孤独」、「騎士団長殺し」。

ドグラ・マグラ(上) (角川文庫 緑 366-3)

百年の孤独 (Obra de Garc´ia M´arquez)

騎士団長殺し（第１部～第２部）合本版（新潮文庫）

そして、この「感染症の数理モデル」も、初版の頃から何度も第一章で挫折してきました。なので関心のある章の関心のある節だけ読むことにしました。ちょうどネットワーク分析に興味があるので、この本のうち該当する第６章だけ読みました。気になったのが、P.217のSIRモデルにおける$${\lambda c}$$（感染率の臨界値）の式(6.27)、(6.28)、(6.29)です。

$$
\frac{d}{d\Phi_{\infty}} (1-\frac{1}{\langle K \rangle}-\frac{1}{\langle K \rangle}\sum_{k=1}(k-1)p(k)e^{-\lambda k \Phi_{\infty} }| _{\Phi_{\infty}=0} >1    (6.27)
$$

$$
\lambda\frac{\langle K^2\rangle-\langle K \rangle}{ \langle K\rangle^2}\gt 1      (6.28)
$$

$$
\lambda_{c} =  \frac{ \langle K\rangle^2}{\langle K^2\rangle-\langle K \rangle}  (6.29)
$$

となっています。
ちょうど読んでいた論文「Centrality in modular networks」のP.13に、ネットワーク構造を加味したSIRモデルにおける感染率の臨界値について式が掲載されていました。論文では、

$$
\alpha_{th} =  \frac{ \langle K\rangle}{\langle K^2\rangle-\langle K \rangle}     
$$

とありました。確認のため式(6.27)の左辺の式を計算したところ、

$$
\frac{d}{d\Phi_{\infty}} (1-\frac{1}{\langle K \rangle}-\frac{1}{\langle K \rangle}\sum_{k=1}(k-1)p(k)e^{-\lambda k \Phi_{\infty} })| _{\Phi_{\infty}=0}
$$

$$
\frac{1}{\langle K \rangle}\sum_{k=1}(\lambda k )(k-1)p(k)e^{-\lambda k \Phi_{\infty} })| _{\Phi_{\infty}=0}
$$

$$
\frac{\lambda}{\langle K \rangle}\sum_{k=1}( k^2-k)p(k)
$$

$$
\frac{\lambda}{\langle K \rangle}\sum_{k=1}[k^2p(k)-kp(k)]
$$

以下、kの一次のモーメント及び二次のモーメントに相当するので、

$$
\langle K \rangle=\sum_{k=1}kp(k),  \langle K^2 \rangle=\sum_{k=1}k^2p(k)
$$

と変形できます。従って、式(6.28)は

$$
\lambda\frac{\langle K^2\rangle-\langle K \rangle}{ \langle K\rangle}\gt 1   (6.28')
$$

となりました。従って、

$$
\lambda_{c} =  \frac{ \langle K\rangle}{\langle K^2\rangle-\langle K \rangle}          (6.29')
$$

になります。

培風館のH Pには正誤表がなく、メールの問い合わせ先もないためnoteに残すことにしました。

参考文献

Ghalmane, Z., El Hassouni, M., Cherifi, C. et al. Centrality in modular networks. EPJ Data Sci. 8, 15 (2019). https://doi.org/10.1140/epjds/s13688-019-0195-7