二項分布の確率母関数と期待値

二項分布の概要

二項分布は成功確率がpのベルヌーイ試行を独立にn回行ったとき、その成功の回数を表す分布です。成功の回数が確率変数Xになります。確率分布を表す確率質量関数は下式です。

分布のパラメータはnとpとなっており、たとえば成功確率p=0.3、試行回数n=10のときのグラフは下の形になります。このような場合は、3回成功する確率が最も高いことがわかります。

確率質量関数の和が1になることの証明

これには以下の二項定理を用います。

二項分布の確率の和が1になるのは、以下のように簡単に証明できます。

確率母関数

次は確率母関数ですが、こちらにも二項定理を用います。

3行目から4行目への変形に二項定理を用いています。

モーメント母関数

定義通りに求めることもできますが、確率母関数を求めているのでこれを用います。

期待値と分散

期待値と分散は上で求めた確率母関数またはモーメント母関数から求めることができますが、比較的確率母関数からの方が容易です。まず期待値からです。期待値は確率母関数をsで微分し、sに1を代入することで求まります。

続いて分散です。まずは2階微分し、

分散を求める公式を用いると

となります。

参考文献

現代数理統計学の基礎（久保川達也）