筑波大学理工学群数学類2008年度推薦2番

かわいい理系数学さんの文書にあった問題です.     かわいい理系数学さんの答案は完璧です, 受験勉強の一環としてこの問題を勉強する場合はそちらをご覧ください.     ここでは, かわいい理系数学さんのもっとうまい解法がありそうだという直観に対する私なりの回答です.     これからの解法は完全に高等学校の数学の範囲を超えています, 高校生, とくに受験生の方は大学で数学を学ぶとこれまでとは違うものの見方が出来るようになるんだと思ってもらえれば十分です.

後の文書の都合で問題文は変更しています.

問題

(1) 円弧 $${\stackrel{⌒}{\mathrm{AB}}}$$ の内部に点 $${\mathrm P_1}$$ をとる.     線分 $${\mathrm{A}\mathrm{P}_1}$$ と線分 $${\mathrm{P}_1\mathrm{B}}$$ をつないだ折れ線 $${\mathrm{AP}_1\mathrm{B}}$$ の長さを最大にする点 $${\mathrm P_1}$$ の位置を定めよ.

(2) $${\stackrel{⌒}{\mathrm{AB}}}$$ の内部に円弧上で点 $${\mathrm A}$$ に近い方から2点を $${\mathrm P_1, \mathrm P_2}$$ をとる.     折れ線 $${\mathrm{A}\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm B}$$ の長さを最大にする点 $${\mathrm P_1}$$, $${\mathrm P_2}$$ の位置を定めよ.

考察

線分 $${\mathrm{XY}}$$, 円弧 $${\stackrel{⌒}{\mathrm{XY}}}$$ の長さをそれぞれ $${\left|\mathrm{XY}\right|}$$, $${|\stackrel{⌒}{\mathrm{XY}}|}$$ で表す.

(1)

点 $${\mathrm P_1}$$ が $${\stackrel{⌒}{\mathrm{AB}}}$$ 上にあるとき, $${\theta=\angle\mathrm{AP_1B}}$$、 $${t=\angle\mathrm{P_1AB}}$$ とおく.     $${\theta}$$ は $${\mathrm P_1}$$ のとり方に依らず一定で, $${t}$$ は $${0<t<\pi-\theta}$$ の範囲を動く.     正弦定理より $${\mathrm{BP}_1=2R\sin t}$$, $${\mathrm{AP}_1=2R\sin(\pi-\theta-t)=2R\sin(\theta+t)}$$ である.     ただし, $${R}$$ は円の半径である.     和積の公式より折れ線 $${\mathrm{AP}_1\mathrm{B}}$$ の長さは

$$
2R\sin t+2R\sin(\theta+t)=4R\cos\frac{\theta}2\sin\left(t+\frac{\theta}2\right)
$$

であり, 折れ線の長さは $${\displaystyle t=\frac{\pi-\theta}2}$$ のとき
最大値 $${\displaystyle 4R\cos\frac{\theta}2}$$ をとる.     このとき $${\displaystyle\angle\mathrm{P_1BA}=\frac{\pi-\theta}2}$$ であり, $${\mathrm P_1}$$ は $${|\stackrel{⌒} {\mathrm{AP}}_1|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{BP}}_1|}$$ を満たす点である.

(2)

まず, この問題の答えは $${\displaystyle |\stackrel{⌒} {\mathrm{AP_1}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_2B}}|}$$ であることを指摘しておく.     これからの議論はこれを確認するための方法（証明）についてである.

2点 $${\mathrm P_1}$$, $${\mathrm P_2}$$ を $${\mathrm A}$$ に近い方からとったとする.      $${|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}}|\neq|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_2B}|}}$$ のとき, 円弧 $${|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P'_2}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P'_2B}}|}$$ となるような点 $${\mathrm P'_2}$$ を $${\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1B}}}$$ からとると (1) より折れ線 $${\mathrm{A}\mathrm{P}_1\mathrm{P}'_2\mathrm B}$$ の長さは折れ線 $${\mathrm{A}\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm B}$$ の長さより大きくなる.     同様に $${|\stackrel{⌒} {\mathrm{AP_1}}|\neq|\stackrel{⌒} {\mathrm{{P_1P_2}|}}}$$ のとき, 点 $${\mathrm P'_1}$$ を折れ線 $${\mathrm{A}\mathrm{P}'_1\mathrm{P}_2\mathrm B}$$ の長さが折れ線 $${\mathrm{A}\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm B}$$ の長さより大きくなるようにとることができる.

上の事実を命題の形でまとめると

$$
|\stackrel{⌒} {\mathrm{AP_1}}|\neq|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}} | または
|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}}|\neq|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_2B}}|
\quad \Longrightarrow\quad 最大値ではない
$$

これから

$$
\left(
|\stackrel{⌒} {\mathrm{AP_1}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}}|  かつ |\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_2B}}|
\right)ではない
\quad \Longrightarrow\quad 最大値ではない
$$

対偶をとる

$$
折れ線の長さが最大 \quad \Longrightarrow\quad
|\stackrel{⌒} {\mathrm{AP_1}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_2B}}|
$$

したがって, 折れ線 $${\mathrm{AP_1P_2B}}$$ の長さが最大になるための必要条件は $${\displaystyle |\stackrel{⌒} {\mathrm{AP_1}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_2B}}|}$$ である.

後は, 十分条件であることを確かめれば証明が完成するのだが, これを高校数学の範囲では出来なかった.    点 $${\mathrm{P_1, P_2}}$$ を $${\displaystyle |\stackrel{⌒} {\mathrm{AP_1}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_2B}}|}$$  満たすようにとると折れ線の長さが最大になることを示したいのだが, これがなかなか一筋縄ではいかない.

視点を変えて折れ線の長さが最大になるような点 $${\mathrm{P_1, P_2}}$$ の存在を示すことを考える.     もし, 存在が証明できればこれまでの議論から必然的に $${\displaystyle |\stackrel{⌒} {\mathrm{AP_1}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_2B}|}}$$ であることがわかり, 証明が完成する.

2点 $${\mathrm{P_1, P_2}}$$ のとり方を $${\stackrel{⌒} {\mathrm{AB}}}$$ 内部または両端点から重複を許してとることに変更する.     すると, 点の選び方の集合が “コンパクト” という性質を満たすことになり, 最大値と最小値をもつことが示される.

発展

上の考察から得られた結果をまとめておく

主張     円弧 $${\stackrel{⌒} {\mathrm{AB}}}$$ の内部及び両端点から $${n}$$ 個の点 $${\mathrm{P_1, P_2,\dots, P}_n}$$ を

$$
|\stackrel{⌒} {\mathrm{AP}}_1|\leqq|\stackrel{⌒} {\mathrm{AP}}_2|\leqq\cdots\leqq|\stackrel{⌒} {\mathrm{AP}}_n|\leqq
|\stackrel{⌒} {\mathrm{AB}}|
$$

となるようとる.     このとき, 折れ線 $${\mathrm{AP_1P_2{\dots}P_nB}}$$ の長さを最大にする $${\mathrm{P_1, P_2,\dots, P}_n}$$ の位置は

$$
|\stackrel{⌒} {\mathrm{AP}}1|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_1P_2}}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm{P_2P_3}}|=\cdots
=|\stackrel{⌒} {\mathrm P_{n-1}\mathrm P_n}|=|\stackrel{⌒} {\mathrm P_n\mathrm B}|
$$

のときである.

この証明は有料エリアで
ただし, 証明では距離空間に関する基礎知識を仮定しています.
詳しい文献なら微分積分学の書籍でも述べられている程度のものです.

独り言

今回, 十分条件であることを示すときに使った定理は

コンパクト集合で定義された連続関数は最大値・最小値をもつ.,

という定理である.

このように何かの存在（ここでは最大値）を結論とする定理を存在定理という.     例えば, 数学III の微分法の応用で扱う平均値の定理は存在定理である.
著者自身, 高校生の時には平均値の定理の重要性（有用性）は判らなかったが, 今では, 平均値の定理にはたくさんの応用があることを知っている.
たとえば, 円周率 $${\pi}$$ やネイピア数 $${e}$$ を求める計算でも平均値の定理が基礎理論のように働いていると考えることができる.

大学で本格的に数学を勉強すると多くの存在定理を勉強し, それら利用の仕方もたくさん学ぶことになる.     上で紹介したコンパクト集合の定理もその一つである.     筑波大学の問題でもコンパクト集合とこの定理を知っていたのでここで紹介した解法にたどり着いたのであり, これらを知らないければ思いつくはずもないだろう.