三角関数

$${x}$$-$${y}$$直交座標において、原点を中心とする半径$${1}$$の円を取る。

原点を始点とする半直線を原点中心に$${x}$$軸から反時計回りに$${\theta}$$だけ回転させたときの円との交点の$${x}$$座標を$${\cos \theta}$$、$${y}$$座標を$${\sin \theta}$$と表すことにする。

また、$${\cos \theta \neq 0}$$において$${\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$$を$${\tan \theta}$$と定義する。

ここで、角度$${\theta}$$は原点を中心とする半径$${1}$$の円において、弧長$${\theta}$$に対応する中心角の大きさである。

$${\theta}$$が特殊な角度の場合、$${\cos \theta, \sin \theta}$$の値を求めることができる。

例えば、$${\theta = \frac{\pi}{3} (= 60^{\circ})}$$のとき3点$${(0,0), (1,0), (\cos \theta, \sin \theta)}$$は正三角形を成すから、点$${(\cos \theta, 0)}$$は2点$${(0, 0), (1, 0)}$$が作る線分の中点となる。したがって、$${\cos \frac{\pi}{3} = \frac12}$$。

$${\sin \theta}$$は3点$${(0,0), (\cos \frac{\pi}{3} ,0), (\cos \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{3})}$$が成す直角三角形に関して三平方の定理から$${\sin ^2 \frac{\pi}{3} = 1^2 - \cos^2 \frac{\pi}{3} = 1-\frac14=\frac34}$$。

$${0\leq \theta \leq \pi}$$のとき$${\sin \theta \geq 0}$$だから$${\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}}$$。

以上より、$${\cos \frac{\pi}{3} = \frac12, \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2} }$$。

$${\cos \theta, \sin \theta, \tan \theta}$$は三角関数と呼ばれ、角度から辺長への変換、または辺長から角度への変換に用いられる。