ヘロンの公式
三角形ABCが$${BC = a, CA = b, AB = c}$$であったとします。
このとき、以下三式が同時に成り立つことが自動的に決まります。
$${a + b > c}$$
$${ b + c> a}$$
$${ c + a> b}$$
点Aから辺BCに垂線を下ろした足を点Hとします。
$${BH = x, HC = y}$$と置くと、三平方の定理を利用して$${AH^2}$$を2通りで表すことができます。
$${c^2 - x^2 = b^2 - y^2}$$
並び替えると
$${ x^2 - y^2=c^2 -b^2 }$$
左辺を因数分解すると
$${ (x+ y)(x-y)=c^2 -b^2 }$$
$${x + y = a}$$より
$${ a(x-y)=c^2 -b^2 }$$
$${a \neq 0}$$だから
$${ x-y=\frac{c^2 -b^2}{a} }$$
$${ x-y=\frac{c^2 -b^2}{a} }$$と$${x + y = a}$$を連立すると
$${ x=\frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a} }$$
三角形ABHにおいて、三平方の定理より
$${AH^2 }$$
$${= c^2 - (\frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a})^2}$$
$${= (c + \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a})(c - \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a})}$$
$${= \frac{2ac + (a^2 - b^2 + c^2)}{2a}\frac{2ac - (a^2 -b^2 + c^2)}{2a}}$$
$${= \frac{ (a^2+ 2ac + c^2)- b^2 }{2a}\frac{- (a^2 - 2ac + c^2) +b^2}{2a}}$$
$${= \frac{ (a + c)^2- b^2 }{2a}\frac{- (a-c)^2 +b^2}{2a}}$$
$${= \frac{ (a + c- b)(a + c + b) }{2a}\frac{- (a -c + b)(a -c -b)}{2a}}$$
$${= \frac{ (a - b + c)(a + b + c ) }{2a}\frac{ (a + b -c )(-a +b +c )}{2a}}$$
$${= \frac{ (a + b + c )(-a +b +c )(a - b + c)(a + b -c ) }{4a^2}}$$
$${a + b > c, b + c> a, c + a> b}$$より、分子が負になることはない。
よって、$${AH^2 }$$の平方根を取ったときに虚数になることはない。
$${AH>0 }$$を踏まえると
$${AH = \frac{ \sqrt{(a + b + c )(-a +b +c )(a - b + c)(a + b -c )} }{2a} }$$
三角形ABCの面積は
$${\frac{1}{2}\cdot BC \cdot AH}$$
$${=\frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{ \sqrt{(a + b + c )(-a +b +c )(a - b + c)(a + b -c )} }{2a}}$$
$${= \frac{ \sqrt{(a + b + c )(-a +b +c )(a - b + c)(a + b -c )} }{4}}$$
証明終わり。
一般的には、$${s = \frac{a + b + c}{2}}$$と置いて
$${\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$
と書かれます。
変わり種として、
$${\frac{ \sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)} }{4}}$$
があります。
この公式は、辺の長さが無理数の時に使えます。
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