写像12相(2)

写像12相

4, 6を解説します。

4 n個の区別しない玉をk個の区別された箱に入れる方法

例えば、$${3}$$個の区別しない玉を$${4}$$個の区別された箱に入れる方法は、$${3}$$個の○と$${3}$$個の｜をシャッフルしたうえで一列に並べたときに、○を玉に、｜で区切られた区間を箱にそれぞれ対応付けて玉を箱に入れたときの方法に一致する。

例を挙げると、区別できない玉が$${3}$$個あり、箱A, B, C, Dにそれぞれ玉を入れる方法を考えたときに
○○｜○｜｜　→　Aに２個、Bに１個、Cに０個、Dに０個
○｜｜○｜○　→　Aに１個、Bに０個、Cに１個、Dに１個
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のように○と｜の並べ方に1対1で対応付けられる。

したがって、$${3}$$個の○と$${3}$$個の｜の順列が問題になる。

これは、$${6}$$個のスペースに○を配置する場所を選択する総数$${{}_6 C_3}$$通りと残りの全スペースに｜を配置する$${1}$$通りの掛け算なので、答えは$${{}_6 C_3 \cdot 1 = 20}$$通り。

一般化すると、$${n}$$個の区別しない玉を$${k}$$個の区別された箱に入れる方法は$${{}_{n + k -1} C_n}$$通り。

6 n個の区別しない玉をk個の区別された箱に、全ての箱の玉が一つ以上になるように入れる方法

ケース4と同じように玉と箱の関係を○と｜の並べ方に置き換える。

全ての箱の玉が一つ以上になるように、という条件が付いているので、まず$${n}$$個の○を一列に並べてしまう。このときの○と○の間を選択して｜を１つ差し込めば、ケース6の状況を表現できる。

○と○の間は$${n-1}$$個あり、｜は$${k-1}$$個あるので○と○の間を$${k-1}$$箇所選択することになる。

したがって、総数は$${{}_{n-1} C_{k-1}}$$通り。

次は3, 9, 7を解説します。