ベクトルの内積・外積と三角関数の加法定理

※結論をまとめ切れていないです。

2つのベクトル$${\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)}$$とその為す角$${\theta}$$には次の関係が成り立つ。
$${|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2}$$

これは$${\cos}$$に関する関係式だが、$${\sin}$$にも似たような関係式がないかを調べる。

3点$${O(0, 0), A(a_1, a_2), B(b_1, b_2)}$$が成す三角形の面積$${S}$$を求める。

点$${A}$$から直線$${OB}$$に垂線を下ろした足を$${H}$$とすると
$${S}$$
$${=\frac12 OB \cdot AH}$$
$${= \frac12 |\vec{b}| \cdot |\vec{a}|\sin \theta}$$
$${=\frac12 |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta}$$

$${ |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta}$$という量が登場したので、取り出す。

$${ |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta}$$
$${ = |\vec{a}||\vec{b}| \sqrt{1 - \cos ^2 \theta}}$$
$${ = |\vec{a}||\vec{b}| \sqrt{1 - \big\lparen \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}\big\rparen^2}}$$
$${= \sqrt{(|\vec{a}||\vec{b}|)^2 - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2}}$$
$${= \sqrt{(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2}}$$
$${= \sqrt{a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2 - 2a_1a_2b_1b_2}}$$
$${= \sqrt{(a_1b_2 - a_2b_1)^2}}$$
$${= |a_1b_2 - a_2b_1|}$$

したがって、$${ |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta = |a_1b_2 - a_2b_1|}$$が成り立つ。

つまり、2つのベクトル$${\vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2)}$$とその為す角$${\theta}$$には次の2つの関係が成り立つ。

$${ |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta = |a_1b_2 - a_2b_1|}$$
$${|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2}$$

絶対値が外れる条件を知りたいが、まだわかっていない。

また、この関係式から三角関数の加法定理を導いてみる。

単位円上に2点$${A(\cos \alpha, \sin \alpha), B(\cos \beta, \sin \beta)}$$を取る。

2ベクトル$${\vec{OA} = (\cos \alpha, \sin \alpha), \vec{OB} =(\cos \beta, \sin \beta) }$$に対して先ほどの関係式を当てはめる。

$${|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin (\alpha - \beta) = |\cos \alpha \sin \beta - \cos \beta \sin \alpha|}$$
$${|\vec{OA}||\vec{OB}|\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \beta \sin \alpha}$$

$${1\cdot 1\sin (\alpha - \beta) = |\cos \alpha \sin \beta - \cos \beta \sin \alpha|}$$
$${1\cdot 1\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \beta \sin \alpha}$$

$${\sin (\alpha - \beta) = |\cos \alpha \sin \beta - \cos \beta \sin \alpha|}$$
$${\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \beta \sin \alpha}$$

本来の三角関数の加法定理は
$${  \sin (\alpha - \beta) =\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}$$
$${  \cos (\alpha - \beta) =\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}$$

なので、絶対値は外れると予想しているが、外れ方がわからない。

2024/06/23
$${ |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta}$$から$${ = |\vec{a}||\vec{b}| \sqrt{1 - \cos ^2 \theta}}$$への式変形で$${\sin \theta}$$が負の値を取るケースを考慮していなかったため、絶対値が外れないことを教えて頂きました。
三角形の面積を符号付面積として改めて捉えなおすなど試行錯誤しましたが、三角形のなす角として$${\theta}$$を考えると結局$${0 < \theta < \pi}$$に限定されるので、三角関数の加法定理に上手につなげるのは難しいのではないかと思いました。
一旦、保留にします。