【統計力学】 解く計算の流れ一覧

自分の院試対策用にまとめておく. 

1. ミクロカノニカル分布アンサンブル

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外界の熱浴と粒子交換がなく, エネルギーのやりとりもしない系

図1 ミクロカノニカル分布 (孤立系)

i) 与えられたHamiltonianに対して, $${E\backsim E+\varDelta E}$$ 内の状態数を求める. 

$$
W_c=\frac{1}{h^{3N}}\int _{E\leq H \leq E+\varDelta E}d^3r_1\cdots d^3r_Nd^3p_1\cdots d^3p_N
$$

　※ なお, 量子系の場合は, 「重複組合せ」で求める. 

 ii) Boltzmannボルツマンの原理より, 完全な熱力学関数であるエントロピーを求める. 

$$
S=k_B\ln W_c
$$

iii) 熱力学関係式から各物理量を求める. 

$$
\frac{\partial S}{\partial E}=\frac{1}{T}
$$

2. カノニカル分布アンサンブル

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外界の熱浴と粒子交換はないが, エネルギーのやりとりはする系

図2 カノニカル分布 (閉鎖系)

i) $${E}$$ での分配関数を求める. 

$$
Z(\beta)= \begin{cases}
\displaystyle \sum_ne^{-\beta E_n} &\text{(量子系)}  \\
\frac{1}{h^{3N}}\int d^3r_1\cdots d^3r_Nd^3p_1\cdots d^3p_Ne^{-\beta H} &\text{(古典系})
\end{cases}
$$

ii) 完全な熱力学関数であるHelmholtzヘルムホルツの自由エネルギーを求める. 

$$
F=-\frac{1}{\beta}\ln Z(\beta)
$$

iii) 内部エネルギーやエントロピーなどを求める. 

$$
E=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z  (=\frac{\partial}{\partial \beta}(\beta F))
$$

$$
S=\frac{E-F}{T}
$$

$$
C_V=(\frac{\partial E}{\partial T})_V
$$

$$
M=-(\frac{\partial F}{\partial B})_{T,V}
$$

文献

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[1] 田崎晴明.『統計力学I』(2008, 培風館).
[2] 田崎晴明.『統計力学II』(2008, 培風館).
[3] 久保亮五.『大学演習 熱学・統計力学』修訂第56版 (1998, 裳華房).