ソフトボール投げはどの角度が一番飛ぶのかの導出（空気抵抗は無視する）

45度の角度が一番飛びそう・・・！（適当）

つきましては空気抵抗を無視します

Wikipediaさんによる説明はこちら

まずは基本的な射方投射の式を思い出します

それでは、今回解かなければならない問題を文章で定義します

こんな感じ

はじめに、地面に到達時の経過時間tを求めます

・地面に到達時の時間tを求める
・その時間で水平に移動した距離Lを求める
・Lが最大値をとるときのθを求める
という手順です

地面到達時は高さが0なので、鉛直方向の位置を求める式に0を代入します

次に、このtに関する二次方程式を解の公式を用いて解きます

このtが、「ボールが地面に到達するまでの時間」です

この時間でボールが水平方向に移動した距離が飛距離です

それでは飛距離を求めます

この関数f(θ)の最大値（極値）を求めることがここからの目標です
そのためにf(θ)を微分してみて、微分後の関数f’(θ)=0の時（極値をとるとき）のθを求めます
ここの微分が非常に面倒な計算です

微分公式集

計算がひと段落しました
この式の値が0になるとき、f(θ)は極値をとります
ただし、極値が極大値なのか極小値なのか、最大値なのか最小値なのかはよく考えてみないと分かりません

それでは、この式が0になるときの条件を考えてみます

これをθについて解くことが目標ですが、一旦sinθについて解きます

sinθがこの値をとるとき、飛距離を表す関数f(θ)は極値をとります

計算の結果、θの範囲内でf(θ)の極値はθが上記の値をとる場合の1つしか無いことは分かりました
本来、この極値が最大値であることを厳密に調べる必要がありますが、変数θの範囲の端である90度（ボールを投げたら記録は0m）で飛距離が小さな値をとることから、極値が最小値でないこと（関数が上に凸であること）が予想でき、一つしかない極値は最小値でないなら最大値です。

実際にはグラフは以下のような感じで実際に上に凸っぽいです。

グラフ（動的に計算するので表示まで時間がかかります）

ということで

この方程式が飛距離Lが最大になる条件です

重力加速度gは値が決まっていますが、その他に初速度と初期位置を決めなければθが求められません
要するに、一番ボールが遠くに飛ぶときの投げる角度は、初期位置（ボールが手から離れるときの手の高さ）や、初速度に依存して変化するということです
つまりは、一番飛ぶ角度は、投げるボールの速さや身長、腕の長さによって変化するということで、一概に「~度が一番飛ぶ角度だ」とは言えないということです

まずは分かりやすく（計算しやすく）、
「θが30度の場合」を考えてみます

と綺麗な方程式になりました。この方程式が成り立つ条件であった場合、ボールが一番飛ぶ角度は30度だということになります

例えば、自分の投げるときの手の地面からの高さやボールの速さを測って

次は実際に想定される高さや速度で計算してみましょう

ルートの中身が複雑すぎてわからないので、googleの計算機をお借りします
計算リンク
三角関数表リンク

42度が一番飛ぶみたいです、ほとんど45度に近いですね、これなら投げるときは45度で意識しても変わらなそうです・・・

最後に、初期位置y_0が0mの場合を計算してみます

なのでθは初速度に依存せずθは45度となります

初期位置が0mの高さのとき、
つまり手の甲を地面につけて手首や指のスナップだけで投射する場合、
ボールの初速度に関係なく一律で45度が一番飛びます

＜まとめ＞

おわり