『科学する麻雀』の思い出

最近、とつげき東北が次のようにツイートした。

合計N枚のくじがあって、「アタリ」がa枚ある。
そこから「i回以内」に「アタリ」を引く確率について、右ページ赤線部のような式に表せる。
（拙著『科学する麻雀』より）

これについて、aとiが逆ではないか、という指摘をここ16年で2度ほど受けたが、高校数学ができる方、キチンと答えられますか？ pic.twitter.com/l8oAaiekBp

— とつげき東北🌘 (@totutohoku) June 18, 2020

　上の画像は講談社現代新書『科学する麻雀』の５８ページと５９ページの記載である。

　懐かしい。
　１３年前、私も同じ疑問を持った。
　つまり、「この式、ａとｉが逆ではないか」と。
　もちろん、そのときの私はちゃんと式変形を行い、ａとｉが逆でないことを確認したわけだが。

　そこで、１３年前に確認したことを今ここで書き留めておこうと思う。
　なお、「異なるｎ個の集合物からｍ個を取り出す組み合わせの数」のことを、

ＣＯＭＢＩＮ（ｎ、ｍ）

と書く（エクセル関数を意識）。

　さて、とつげき東北のつぶやきを確認しよう。
　上のツイートをまとめると次のようになる。

（以下、まとめ）
１、合計Ｎ枚のくじがあって、「アタリ」がａ枚ある。
２、ｉ回以内にアタリを少なくても１回以上引く確率を関数ｆ＿１と置く。
３、ｉ回以内に１回もアタリを引けない確率を関数ｆ＿１ｎと置く。

この場合、ｆ＿１ｎとｆ＿１をＮ、ａ、ｉで書くと

ｆ＿１ｎ＝ＣＯＭＢＩＮ（ｎ－ｉ、ａ）÷ＣＯＭＢＩＮ（ｎ、ａ）
ｆ＿１＝１－ｆ＿１ｎ

と置ける。
（まとめ終了）

　欲しい値はｆ＿１であるが、計算で重要になるのはｆ＿１ｎである。
　ｆ＿１ｎが出れば、ｆ＿１は１からｆ＿１ｎを差っ引けばいいのだから。

　というわけで、ｆ＿１ｎに着目する。

　最初、私がこの式を見たとき、「ａとｉが逆じゃね？」と思った。
　１回もアタリが引けない確率は、全部はずれを引いた時の組み合わせの数を分子に持ってくるはずである、と。
　つまり、

ｆ＿１ｎ＝ＣＯＭＢＩＮ（ｎ－ａ、ｉ）÷ＣＯＭＢＩＮ（ｎ、ｉ）

ではないか、と。

　ただ、本の記載と私の数式が同値であれば問題ない。
　そこで、私は

ＣＯＭＢＩＮ（ｎ－ａ、ｉ）÷ＣＯＭＢＩＮ（ｎ、ｉ）・・・①

と

ＣＯＭＢＩＮ（ｎ－ｉ、ａ）÷ＣＯＭＢＩＮ（ｎ、ａ）・・・②

が同じ値なのか検証することにした（以下、上を①、下を②と置く）。

　まず、①を階乗で表してみよう。
　①を展開すると、

①＝（ｎ－ａ）！÷（ｉ）！÷（ｎ－ａ－ｉ）！
　　　÷｛（ｎ）！÷（ｉ）！÷（ｎ－ｉ）！｝
①＝（ｎ－ａ）！×（ｎ－ｉ）！÷（ｎ－ａ－ｉ）！÷（ｎ）！

となる。
　次に、②を展開してみる。
　すると、

②＝（ｎ－ｉ）！÷（ａ）！÷（ｎ－ａ－ｉ）！
　　　÷｛（ｎ）！÷（ａ）！÷（ｎ－ａ）！｝
②＝（ｎ－ａ）！×（ｎ－ｉ）！÷（ｎ－ａ－ｉ）！÷（ｎ）！

となる
　つまり、①と②が同じになる。
　よって、ａとｉはひっくり返ろうが同じであることを確認した。

　私は「式が一致する以上、ａとｉはひっくり返っていようがいまいが同値なので前に進んでよい」と納得し、本を読み進めた。
　そして、局収支理論や点数と順位の理論の記載を読み進めることになる。

　今回、凸のツイートを見て、ふとこの計算を思い出した。
　よって、備忘のため、このことを記録しておく。

　では、今回はこの辺で。