複素数の理解への道

高校数学で複素数の概念を習うが、素直に受け入れられない人も多いだろう。というのも普通教科書では虚数単位 $${i}$$ を突如導入して, $${x+yi}$$ なる形として複素数を定義するからだ。($${x,y}$$ は実数)

しかしこの虚数単位というものが曲者で, $${i}$$ は2次方程式 $${x^2=-1}$$ の解である. 任意の実数は2乗すれば0以上であるから, この方程式は実数解を持たない. したがってこれまで実数しか扱ってこなかった者としては, このようなものを考えて良いのか疑問に思うのは当然のことである. 実際に歴史的にもこのような数を受け入れるのにはかなりの年月がかかっているのである.

現代数学的においてはちゃんと正当化されているし, 今では物理学や工学など他の分野でも使われるので, 今更受け入れることを辞めるわけにはいかない. しかしながら十分な理解をしないまま複素数は存在しないと結論づけてしまう人が少なくない. (数学教師の中にもそのような人がいるのは大変残念なことである.) 虚数 $${i}$$ は上で述べたように実数ではないが, 実数の世界を飛び出して確かに存在しているのである.

そこで従来の定義とは異なる方法で虚数を導入し複素数を理解してはどうかと提案したい。即ち, 従来の順番では虚数単位を導入した後複素数を定義してその四則演算を定義する。そして代数方程式を複素数の範囲で解き, 数学III(現在は数学C) でやっと複素数平面を習う.

私が提案したいのはまず複素数平面を導入することから始めることである. 小中学校で実数を理解するひとつの手段として数直線を導入した. そこでは一本の直線を引き, その上に原点Oとその右側に一点Aをとる. Oに数0を, Aに数1を対応させると, 残りの直線上の点と実数が一対一に対応する. これは数学的には厳密性を欠いているものの, 視覚化しているという点で理解しやすくはなっている.

したがって先ずは複素数平面を導入しその平面上の点と数を一対一に対応させ, その点のことを複素数であると定義する立場をとることにしよう.

最初に実軸と呼ばれる数直線を水平にとり, これまでと同様に原点Oと数1に対応する点(Aとする.)をとる. この上の点は実数を表していると考えることは先に述べた通りである.次にOを中心としてこの数直線を反時計回りに90°回転させる. (この実軸と直角に交わった向きづけられた数直線を虚軸という.) この回転でAが写った点をA'としたときその点には数 $${i}$$ を対応させることとする. (これは原点からの距離が1である虚軸上の点であることから, $${i}$$ を虚数単位と名づける.)

これは中学で習う座標平面で $${(1,0),(0,1)}$$ に対応する点にそれぞれ数1, $${i}$$ を対応させていることと同じである. こうすることで点 $${(x,y)}$$ は数 $${x+yi}$$ に対応することになる. このようにして得られた平面を複素(数)平面と呼び, 各点と対応する数のことを複素数, 特に虚軸上の点と対応する数を純虚数と呼ぶ.

このように定義すれば複素数どうしの加法は簡単であろう. すなわち $${(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i}$$ とすればよい.

問題は乗法である. 実数における演算において1が単位元,すなわち任意の実数 $${x}$$ に対して $${1x=x1=x}$$ であることから, 任意の複素数 $${z=x+yi}$$ に対しても $${1z=z1=z}$$ を満たすようにしたい. そこで $${1i=i1=i}$$ を要請する. $${i}$$は 1を反時計回りに90°回転して得られる数であったことに注意しよう. 同様に実数  $${y}$$ を反時計回りに90°回転させた数は $${yi}$$ となって, 最初に定義した虚軸上の数と一致する. このように考えると $${i}$$ をかけることは複素数平面の点の90°回転であることと理解されよう. すると $${i^2}$$ は $${i}$$ に対応する点を90°回転させた点に対応するが, それは数 $${-1}$$ に対応するから, $${i^2=-1}$$ が得られる. こうして $${x^2=-1}$$ の解が視覚的に(幾何学的に)構成されたのである. これは幾何学的には90°回転を2回行うことは180°回転であることを意味している. したがって $${(-1)^2}$$ は-1に対応する点を180°回転させた点を表すから1に等しい. すなわちこれが $${(-1)^2=1}$$ の幾何学説明である.

一般には分配法則と $${i^2=-1}$$ を用いて $${(x+yi)(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i}$$ が成り立つことがわかる.

複素数の構成法はこれ以外にもいくつかあるが(行列を使う方法や実数係数多項式の合同式を使う方法など), 視覚化できるという点でこれが一番分かりやすいと思い採用した。

多項式を使う方法は昔mathlogに書いたのでこちらを参照してほしい。

複素数の構成