教科書を精読してみた⑤微分・積分

今回のテーマは

数学II  微分・積分

です。この範囲は、もう強敵ですよね。この範囲こそ、解けるんですよ、解けるんです。生徒も計算となって、ちょっとホッとしていることも多いのでは！？！？でも難しいですよね。数学が苦手な生徒さんにもしっかりとやり遂げて欲しいところでもあるので、まずは自分自身の理解を皆さんとともに、深めていけたらいいなと思います。

非常事態宣言も２回目となりますが、入試も近くメンバーの皆さんも、中々全員というわけにはいきませんが、この素敵な機会を共有させていただいていただいていることに感謝です。

自分発信はなかなかできませんが、わからない担当としてnoteを頑張っていきたいと思います。

①指数関数・対数関数

②図形と方程式

③三角関数

④方程式・式と証明

東京支部のメンバー9名で進めていきます！！9名の日記としてご覧ください。④の会からお二人増えてさらにパワーアップした東京支部になりますよ。

※使用する教科書は「数学Ⅱ Advanced(東京書籍)」です。

Day1 微分の導入

・導入の際に、微積分はニュートンが作ったのか…という話をするのか。やはり、ニュートンだけでなくライプニッツの話もしていきたいものだ。
・ニュートンが概念をまとめて、ライプニッツが記号をまとめた。
・導入で物理的（瞬間の速さとか）話から進めるのか、数学的話（接線など）から進めていくのかで、接線には感激した。今まで何と無くで飛ばしてしっまっていところがすっきり！！接線でまとめると、ストーリーが続くので、次やるときはやってみたい。
・古代ギリシャのときから、積分に似た考えがあり、2人がまとめたものになる。
・なぜ教科書は瞬間の速さから話があるのか。平均変化率が先の定義の方が良きでは？？物理的な話は、応用問題として後で取りあつかっても良さそうですよね。
・接線を引くとなると、通る点と傾きが必要になるという事は生徒から気づいてもらいやすい。
・幅をhととるが、正の値なのか負の値なのかはわからないはずなのに、我々の図は正の値としてみていることが多すぎませんか。証明のときに、あえてプラスのときとマイナスのときで示して、同じになるねで一度見せるのは面白いかも。
・右側極限や左側極限について触れた方がみんなしっかりと理解しそうだなと思います。
・極限値はあるけど、連続でないものもあるよね。微分可能性のところで少し時間かけて、生徒に問題作らせるなどした方がいいのかも。
・接線を考えたときに、元の曲線がどんな概形になるかという事を考えるのもありかも。曲線を接線で概形がわかる様になったらかっこいいですよね。

Day2 導関数

・元の関数と導関数の関係を図式化できないかということで，そもそも導入を積分からにしてみてはいかがでしょうかという提案もあり，面積的な考えは視覚的に驚き！！！左右近似法？という考え方も知らなかったので，視覚的で面白い！！
・導関数を英語でderivativeと言い関数って入ってないので，本当の関数ではないのでは！？
・微分係数だと，定数に対してhを近付けるイメージがわかるけど，xという変数に対してhも変化するのか！？と理解がなかなか難しいところですよね。
→いったん定数Xと考えて，xに変換してあげるのが一番いいのでは？？
・導関数の定義の大切さを知ってもらうために，色々な関数でチャレンジしてみるのは面白いかも…！例年，引き出しがなくて飛ばし気味になってしまいがちなところだったので，次は時間をかけてやっていきたいですね！！
・幅を2hにすると，幅を近付ける速度をあげたときどうなるのかなど考えてみてもおもしろいのでは！？！？文字が変わったときなどもここで少し時間をかけてやりたいですよね！！！
・x＾nの導関数の前に，どの位定義を使った問題やりますか？→f（x）＝x＾6あたりまでやると，n乗のときの証明で二項定理出てくるのでその解説も含めて扱える問題選びたいですよね。hで割ったときに，どこの部分が残るのかも意識しやすくなるのでは！？！？
・導関数の定義で，y=f(x)+g(x)ならばy’=f’(x)+g’(x)であるなどは説明した方がいいですよね。かけ算などのときは，積の微分について話さないといけないですよね。（四則演算ができるとかの説明が教科書に書いてあって必要なのかな…と思っていた時期もあるけど，ここ最近は，当たり前ではないんだよって説明することの大切に気付き始めた気がします。某関数のときには，積の微分で間違えてみてからでもいいのかも！？！？今からたのしみです。）

Day3 【共通テスト意見交換会】

・今までは典型的な問題を，時間通りに解くという力が必要だったが，今回は問題をよく読んで忠実に解かないといけない問題でしたね。
・解答を選択させる問題が増えたが，今後はもっと増えていくかも！？
・データの分析は，演習量が必要でしたね。例年になく難易度が下がったので今年はできがいいかも！？来年度は難易度が上がる可能性大ですよね。
・日頃から我々が授業内で質問したりする事で，同じ問題で数値を変えるとどおなるのか，なぜそうなるのかを考えさせたいですよね。時間をおいて，ストーリーを見直しても面白いですね。あと，作成者が何を解いたかったのかも一緒に考えたら面白いですね。
・日々の我々の授業力が問われますよね。3年生のときだけ頑張るのではなく、日々いろいろ考えるように指導していきたいですね。
・今後は，別解を考えることも大切だが，類題を考える力も大切になってくるのでは。色々考えていきたいですよね。
・三平方の定理の問題は，図としてはとても面白くて，鈍角三角形や鋭角三角形で図がどうなるか、ということに着目しても面白いですよね。ただ、さいごのもんだいで，それまで条件がない問題だったのに，選択肢に条件あるって何ー！？となるのでは？？
・陸上の問題のときに，単位をつけて解いていけば選択肢はかなり狭まるのでは？100m走るのに9秒台って！？！？となるのでこれまた読解力？？なのか。
・平面図形は難しかったですね。2つの円が接するとかほとんど書き慣れていないのでは？問題文が短かったから…と解いた人は，痛い目にあっている！？！？
・微分積分は，今までの計算力！！というところから，きちんと理解しよう！！！という感じでしょうか。見方を大切にして，ただ計算ではなく，可視化していきたいですね。
・日常生活に即した問題やICTの問題は今後出るのだろうか？？地域差や経験値で大きな差が出ないようにするというのはなかなか難しいのだろうか…
・色々な出版社の問題集で難しめの問題をトレーニングしていく必要性は今後も必要ですね。特に来年は難化する可能性大ですよね。

Day4 導関数の応用

・グラフ上にない点からの曲線に引いた接線の方程式を求める際に，2次関数のときには傾きをmとかとおいて，重解の条件でもいいのでは！？！？微分でやった方がいいのは，3次以上のときによく使うのでは？→グラフでイメージしやすくなるから，先に増減表をかけた方がいいのでは？
・接線を繋げていけば，グラフを復元できる！？f’(x)>0のときにグラフが増減するが，グラフの増減の仕方は
・グラフから増減表はできるけど，増減表だけでグラフは復元できているわけではない。（3次関数などは，我々は知っているからかける。）増減表にはどんな情報が入っているか確認をしておく必要がありますね。
・増減表を埋めていく際に，f’(x)の符号は“符号グラフ”を書いて考えるべし！！代入法はあくまで確かめで，視覚的にも考えられられるようにした方がいい！！代入法をやるならば，正領域と負領域の話をすべし！！計算ミスも多くなるから使い分けはした方がいいですね。
・極大，極小の定義知っていますか！？！？（本日１番の衝撃！！！！自分が一番理解できてないやん。と思った日でしたね…）極大極小の定義では微分を使って定義していない！！みなさま今一度確認してみることをお勧めします。（微分積分学Ⅱ宮島静雄著で確認中…反省いています。）1979年福岡大学の問題を要チェック！！
・f’(a)=0となるときにx=aで極値をとるとあるが，あくまでx=aで微分可能なときに限りますよね！！
・極値は局所的に最大，最小なんだから，局値の方が良きでは！？！？
・増減表は全て埋めますか！？！？極値のときなどに数値を埋めますか！？代入するべき値が複雑な場合は，次数下げして代入するのがいいですよね。あくまで増減表は増減を知れればよきでは！？！？
・増減表は書かないとダメなのかというところで，増減をきちんとかけらばよき！！現実的に，文章で書くのは大変だから増減表の方が楽では！？！？

Day5 関数の最大・最小

・閉区間の中で増減表を書くときにf’(x)の端っこの点は書くのは問題なのか？→端っこで微分できないので，空欄（サカモトは微分できない感を出したいので斜線派です）
・極大極小が最大最小とは限らない事は注意したいですよね。（1991年東大 y=x^3-2x^2-3x+4 定義域が-7/4≦x≦3の最大最小を求めよ。 ）
・正方形の厚紙で体積を最大にする問題で，蓋をつける問題にすると難しくなるのでやってみるといい！？！？牛乳パックは長方形から体積を最大にする最適解である！！（知らなかった！！！！）→カルダゴのリドーの問題をチャレンジ！（サカモトもヒモ状にするのは同じでしたが，ヒモにする方法が違った！！どれが一番長くなるんだろう…？また，同じ長さのヒモで面積を最大にする等長問題を要チェック！！）
・定数分離の問題は，どのように指導する？定数で分けるだけだと，定数aが変数にかかっている問題で迷う生徒もいるのでは？？動くグラフと動かないグラフで分ける，直線と曲線に分けるなどの表現があり，不等式の証明につなげるのには直線との比較の方がいいのかな？
・x^3-3ax-a=0の問題では，どのように分けるか色々指導できそうですね！！
①f(x)=x^3-3ax-aを微分して，解を持つために極値がどうなるか
②x^3=3ax+aとして，直線と曲線で比較
③a=x^3/(3x+1)として，直線と曲線の比較

放課後として…
『接点をx=tとおくと』というのは，なぜ書かないといけないのですか？？という質問があったけど，どう答えますか？
→丁寧に指導しますよね(｀・ω・´)キリッ
とみんなでなったけど，直線と2次関数のときにはやらないですよね。笑笑
となりました。無意識のうちに，我々も“使い分け”してしまっているのかもなー

Day6 積分の導入

・積分の微分の逆になるのか？はさみうちの定理を知らなくても，面責の関係から行くとわかりやすい！！
・微分積分学の基本定理を紹介してやっていくのがいいのかな？
・導入は区分求積からいきたいけど，まっさらな生徒にどうやって指導していくのがいいのかな？？
・不定積分ってなに！？！？なんで考え出したの？いつから？？いつからなの！？！？（本当に何もしらなかったんだなぁと反省中…｡ﾟ(ﾟ´Д｀ﾟ)ﾟ｡）
・接線の傾きが2次という事は，微分して2次式だから原始関数は3次式と確定していいのかな？？
・通る1点と接線の傾きの関数が分かっている関数の解き方で，グラフで考えるときと，原始関数で考えるだけのときで与えられる条件の順番が違うんだけどどういう事！？！？

今回は，宿題が多く残りましたが，今まで何となくしていたんだなと反省中(´・ω・｀)がんばろ〜

Day7 定積分（お休みzzzz）

Day8 囲まれた図形の面積

・x軸と囲まれた面積のときに，正である区間をわざわざ書かなくても良きでは？囲まれているところがわかればいいので，グラフを書いていれば良いのでは？？
・囲まれているときに，上引く下と言うと，区分求積という感じが出るので，積分の逆算となるとどう説明するのかな？
・絶対値関数は面積で考えて欲しい。｜∮f(x)-g(x)dx｜≦∮｜f(x)-g(x)｜dxも図形的に考えておくと良き。1983年の東大の問題でこれを知っておくと良いかも。要チェック！！
・２つの関数に関する積分が，引き算したときは面積を変換している。（アファイン変換）
・マイナスの面積の変換についても，視覚的に（グラフで）話をしたら生徒たちは理解できるのではないか？？
・傘型分割について話しする？2021年東大の問題と共に見てみると良いのでは？（これをやったからといって早くなるわけではないらしい…）
・絶対値の積分は，グラフで考えてあげると区間がわかりやすいのでは？教科書だと絶対値を外すために場合分けしているのでは？？y=x(x+3)において0≦x≦3の面積を求めよといえば，グラフをひっくり返す必要ないのでは？？
・1／6の公式の証明どうやる？？式変形をすると，式変形しやすいのでは？？また，囲まれていないときは，どうする？となったので，この式変形すれば楽なときあるよね！
・2次関数と2直線で囲まれた面積比は，2：1である事は理解いておいて欲しい内容ですね！
・式と図の変換ですが，生徒が意識すると逆方向で考えると違う視点で見せる事ができるかも。

という事で，1年間続けた数学Ⅱの精読会が無事に終了しました！次回はベクトル編になります！！楽しみです！