教科書を精読してみた④方程式・式と証明

今回のテーマは

数学II 方程式・式と証明

です。この範囲は、なんとなく教えている編②なですね。解けるんですよ、解けるんです。だからこそ、この理解でいいのかなーと思うことが多い範囲です。皆さんとともに、理解や確信を深めていけたらいいなと思います。メンバーの皆さんも、通常の勤務になり、部活動や学校説明会などなどで中々全員というわけにはいきませんが、この素敵な機会を共有させていただいていただいていることに感謝です。

自分発信はなかなかできませんが、わからない担当としてnoteを頑張っていきたいと思います。

①指数関数・対数関数

②図形と方程式

③三角関数

東京支部のメンバー7名で進めていきます！！7名の日記としてご覧ください。

※使用する教科書は「数学Ⅱ Advanced(東京書籍)」です。

Day1　二項定理・整式の割り算

・3次式の因数分解はどうやって覚えますか？？なかなか覚えにくいですよね…。
・二項定理において、パスカルの三角形はいろんなネタがあるから、こちらでいろいろ調べておいて披露したいところではありますよね！！コンビネーションと合わせて説明したいですね。
・そもそも二項定理のコンビネーションの式をどうやって指導しますか？？同じものを含む並び替えの際に、階乗を使う方がわかりやすい生徒と、コンビネーションを使う方がわかりやすい生徒がいるので、どちらでも解説したいですよね。（今年、こんなにも別れるのか！というくらいに理解の好み？が違いました。丁寧にどちらも解説し、選択して欲しいなさと感じました！）
・因数分解と約数の総和をやっておきたいですね！
・多項定理についてどのくらい指導しますか？サカモト的には、二項定理と同様に指導したいなと思っています。何か新しい事をやる！という事は人はなかなか苦手ですよね…。
・一般項求めさせますか？？求めた方が、次数や定数を注意してもらいやすいかもですね。
・コンビネーションの和は、二項定理につながるという事を指導していきたいですよね！積分にもつながるし、ここあたりでやってみたいですね。（2013年2011年の横浜市立大学の問題をチェック！）
・2^nは（1+1）^nの変形がなかなか難しい！！丁寧に指導したいですね。
・数式の除法は、正の整数bに対して割った商がqとなっているが、負である事を全て商で吸収している。
・小学校の頃に書く、…のあまりって書くやつどうなの問題！！！そうですよねー。って一同納得というか、みんな疑問があったところですよね。（なんで点が３つかというと、活版印刷に関わっているとのこと！！知らなかった！！）
・整数Bのときは次数をチェックしながら確認していく必要があるけど、定数項って何次式？教科書的には０次と定義している。
・整式の割り算の際に、文字無くしてやりますか？？めんどくささと、文字の混乱しませんか？？でも、次数が無いところをゼロと書くのは意識させるためにはいいかも！？

Day２　分数式・複素数の導入

•分数式に関して，分母がゼロでなければ分数式として考えていいので，文字式にこだわらなくても良いのでは？？有理式と言っているので。
•分数式のときは，何を代入するという事は考えず，式として存在していることに注意したほうがいい。具体的に代入する値については，方程式のときに考えれば良い。
•分数式の割り算の際に，文字で割り算するときに，単純割り算していいものだろうか？という質問になるだろう。→数を代入という観点で言うならば，気になるが，特異点を抜いた状態で考えているものである。
•xは不定なもので考えている。今までの式と考えると大きな飛躍になるので、わかりにくいところではある。
•分数式の展開させますか？？積の形の方が良きでは？？
•なんで加減の方が後なんだろうか？？→加減の話を定義したいから，乗法を定義すると言う方が自然では？？
•半分数はどの程度指導しますか？？傍用問題集に載っている問題程度かしら？？→中学校で数字ではやっているが，きちんとやるのはここで初めて！！！まじかーーー！！！
•分母と分子に同じものかけて式変形するのってどうなんすかね。分数式の不等式の証明のときには成り立つものの，領域のときには通用しなくなるので使い分けさせると言うか，意識させることもあるかもしれませんね。
•連分数展開の話をする！？！？すごい！！！→2011年東京大学に入試問題に出題されているが，触れる機会が少ないのでやってみてもいいのでは？無理数を有理数だけで近似させることができると言う凄さ！！！！
•複素数が登場したのがそもそも歴史が新しい！！！冷静に考えるとぶっ飛んでいる概念！！！
•複素数は生徒にとって初めての出会い。慣れさせることも大切なのだが，なんだこれーーー！、ってなってみよきかも？
•ゼロは複素数？純虚数？虚数？実数(サカモトもここ派！っとういかそんなに強く言わないかも？)？？→立場によって変える必要がある。例えば，ゼロベクトルはベクトル？？高校では，大きさと向きがあるものをベクトルと言っているのに，なんか矛盾していません！？！？と言う感じ。
•高校になった途端に記述の際に，「実数では」って書くけど，疑問に思う高校１年生いません！？数学的には書くべきだけど，虚数というものを習うのは２年生で区別ができないのになんか違和感…！！！ってなりますよね。

Day3 複素数

・複素数はなんぞや？？ってとこからやらないといけないですよね！（ここで数学史のスライド作りたいなーやるかーやらなきゃー時間かけてもやってみよう！！※ただの意気込みです。）
・複素数の相当は、定義？？定理？？背理法で証明する…？？証明できれば定理ですよね？？0+0iって書いていいのかな？？
・虚数を扱うとき，数の大小関係や正負は考えないのは定義？定理？？（私は定義って教えてたなー（´-`）.｡oO）例えば、3+4i，1+2√6i，2√6+i でどれが大きい？と聞いたら、生徒はどう答えるのかな？？5+i ，1+iとかだと大きさわかっちゃう気がしますね…なんで説明しよう…うーん。あと、-1-i とかだとマイナスっぽく感じますよね。教科書的には定義っぽく書かれているけど、本当はどうなんだろうか？？
・複素数はとりあえず作って、後から意味づけしていった！高校生にはハミルトンの構成法などからの話が良きでは？？
・複素数の大小は定理！？！？証明は実数の公理より
・共役はきょうえき？きょうやく？？どっちが正解？？最近の教科書はきょうやくだけどどっちなんだろ！？！？
・1±i を共役な複素数というが、1±√3とかを共役な実数とも言っていい！？！？ただし、拡大体をどことして考えるか（実数？複素数？などの基準を考える）事によって
転化させた基準からはみ出たもののツイを考える？？→自然数の集合と整数の集合については拡大体は作ってはいけない！？！？なぜならば、自然数と整数は体では無いので、そもそも考えてはいけない！！（なるほど…！！！）

ここでめっちゃ盛り上がったんですが…！！熱を伝えられないのが悲しいッッ！

・複素数の世界の中では、常に有理化しないといけない。
・ルートの中マイナスのときはすぐにiを出すのだろうか？？なぜダメなのかを明確にしたいですよね。√（-3）×√（-3）＝√9＝3とかのミスをすることが出てきてしまうからでは…？？

もう半年続けているのか…確実にサカモト自身の授業が変わったなーと実感中。メンバーの皆さんが凄すぎて、気負いする場面しかないですが、このチャンスに巡り会えたのって本当にありがたいこなと日々痛感してます。もう数学難しくてわからない事ばっかりだけど、自分なりのペースで少しづつでも成長したいなと思う今日この頃です。

Day4 解の公式

・解の公式を複素数の範囲まで広げてみよう。
・解の公式の偶数系は使いますか？？（使ったり使わなかったりですね…約分が迷子になったりしますよね…）
・複素関数の２価関数だからプラスだけでいい！！！
・方程式の“コン”とは…（初めて聞きました…平方根からきたと言う事は“根”と書くのでしょうか？？知らないことばかり…（´-`）.｡oO）
・判別式とはなんぞや？？2次方程式に関わらず…要確認！！！
・kを定数とするときの解の判別式の問題はどうやる？？kを動かしてみよう！！
・判別式とは果たして万能なのだろうか？？計算式だけでは理解しにくいところもあるのでは？？図で書けるところは書いていくべきでは？？（今年度、解の個数の問題では、図で解いた方が理解が良かったので、３次のときにも繋げていきたいな。）
・2次方程式と書いたら、ax^2のaはゼロでないと言うのは高校の方言！！
・対称式は、すべて基本対称式で表す事ができることは証明してますか？？→α^n+β^nをα+β，αβで表せと言われたら？？
・2013年東工大の問題を要チェック！！自分の授業でどうするか考えてみてください！！
・解と係数の関係での問題で、次数下げて解く別解もあり！！！！この方法もできるようになったらいいですよね！教員が積極的に使わないと使えない。
・解と係数の関係って恒等式やってないけど、どうやって証明するんだろ？と思っていたら、解の公式なのかー！！！となりました。教科書にもストーリーがあるんですね！！！（自己満足ですが。。）
・符号の判定はグラフでやる？式だけでやる？？→２次不等式のときに、グラフでやりますか？式だけでやるんですか？？式だけの話なのに、グラフと行き来するのは簡単になるのか！？！？国にもよる！？！？（確かに…グラフは視覚的だからわかりやすい！！と言うのは幻想なのかもしれない！！我々としては、この後増減表もあるので、どこに話を持っていくか、という事をもって授業すると言う事が大切なんだな。。）
・解の配置の問題で、解と係数の関係を利用した解法は指導しますか？生徒たちにとって、こちらの方が理解しやすい子もいるのでは？？（サカモト的には、解と係数の関係を利用するのはとても苦手です…便利となかなか思えず…グラフの方がイメージしやすかったです…）
・解と係数の関係の問題ってどんなときにいいのかしら？文字を含んだときに本領発揮できるのでは！？！？1954年の東大の問題をチェック！
・解の配置を解と係数の関係だけでやると、２つの数の間って考えるとどうやるのかな？

Day5 因数定理

・高次方程式の際に、割り算した後に次数が下がることを証明しないといけないのでは？我々はできるようにしないといけないのでは？？
・ax+bのあまりと言われて、P（-b/a）は自明？？a(x+b/a)とすればいいのでは？？
・剰余の定理の応用で、重解のときにどの様に指導しますか？？いつも通りでは解けない…ではどうやって回避すればいいのかな？？自然と回避できるようにする様になってほしい、糸口の見つけ方を学んで欲しいですよね。→あまりをもう一回割り算しているという考え方！！すごい！！！
・因数分解できるための条件として、a_nx^n+a_(n-1)+…+a_0=0がa_0/a_nの約数を調べることは証明したことありますか？？モノグラフ高次方程式を要チェック！！！！
・高次方程式って高校だけでは？？代数方程式が正確ではないの？？
・“高次方程式を解くことは難しいが…”とあるが、解の公式は５次以上ないんだし、笑笑
・３次方程式の解の公式は要チェック！！平方完成は日本独特の言葉！？！？！？知らなかったー！！
・ω^2+ω+1=0の式の意味はなんだろう？？複素平面的には、ω^2，ω，1の正三角形でひっぱりあって0になっている。
・ωの字数下げの問題が教科書にない！？！？やりますよね？？
・ωは、ω^2+ω+1=0の解として考えているが、問題で（1±√3i）/2のどちらの解をωとして見ているかは人によるので教員側が（1+√3i）/2の方だけミスリードしてしまわないように注意したいですよね。
・因数定理のときに、整数解だけでなく分数も出すべし！！一度はやっておかないと、困ってしまうのでは！？！？
・３次式の解の公式を要チェック！！一度使ってみると、重解をもつか確認してからのぞめるかも！？！？
・n次式は常にn個の解を持つ事の証明はいろいろあるのでまたチェック！！！
・共役の解を持つ事は使っていいのか！？→証明した方が良きでは！？！2020年度の新潟大文系で出たので、みてみた方がいいかも！！

要チェックな事が多いなー。どんどん学んでいきたいですよね！！！ちょうど気になっていた事が載っている本とか教えていただけたので、早速明日調べよう！

Day6 恒等式

・イコールの記号は意識して使い分けてますか？高校数学の全てのxについて話（証明、恒等式など）をしているのか、あるxについて話（軌跡の話など）をしているのか、我々がきちんと区別していかないといけないですよね。
・恒等式の証明で、“逆は明らか”って本当に明らかなのか…？？そもそも、どの向きも明らかな証明な気がしますが、本当に抜けなく明らかなのか！？！？という事を説明できるようになってほしいですよね。（逆の説明のときに、考えていた証明が、リーダーと一緒でテンション上がったーーーー！）
・生徒に考えて欲しい事とは、“明らか”という事と、“である事が知られている”という事ですし、我々も意識したいところですよね。
・分数式の恒等式は、教科書の様に分母を払って考えるのか、通分するのか？？通分すると、定義域を意識したまま変形できるメリットと、分母を払うといったん全てのxについて成り立つから、除外点をこれから考えれば良いという事が説明できる。教科書にはないけど、ここは補足した方がいいですよね。（頑なに、教科書は分母を払っているのはなんでだろう？文字を含んだ通分が苦手な生徒が多いからかな？）必要性と十分性は分けて考えるものだからここ丁寧にやりたいですね。
・証明のところで、ラグランジュの等式の証明はやって欲しいですよねー！！！（サカモトはどうしようかな…）
・条件付きの証明で
・比例式はkとおけ！というのが、定石である。なんで置くのか…どうやって考えたのか？→比例式は全て同じ値になるんだから、代表の数として、kと置いてあげる！！！条件付きの等式で、具体的な数の問題を入れてみると、つなげやすいかも！？！？
・正弦定理は比例式とみれる。正弦定理で＝2Rと書くのは、拡張である。そういった見方をしてもいいのでは？？
・比例式の問題の作成のときに、行列で見てあげると…！！！こうやって問題作るのかなーと思いました。教員の準備のときは、いろんな解き方でチャレンジしてみると、見えてくるものも多いかも！！

Day7 不等式の証明

※前回メモしたはずなのですが…早めに記事にします。

Day8 平方による比較

・不等式の証明で、平方による比較のときに、「両辺の平方の差を考えると〜」からスタートすると、同値性が微妙になるのでは？？→先に同値性について述べないと、今後不安定では？？
・練習問題で、√（1+a）<1+a/2とかあるが、相加平均と相乗平均の関係なのに何故イコール入っていないのか？？→テーラー展開的にどんどん増やしていくと、一次式の近似になる！！要チェック！！
・絶対値を含む不等式の証明で、|A^2|=A^2などは、1971年日大（医）の問題を要チェック！！凄い！！（らしい！！ので、勉強したい〜）
・三角不等式の名称は、三角関数を含む方程式、不等式でも使う人がいるが、正式名称なので、混ぜるな危険！ですね。言葉を我々はきちんと使いたいですよね。
・自明な事の証明とは？|A|≧Aの証明で、場合分けカナーと思っていたのですが、二乗する人もいる！？と言うことは驚きであり、
・相加平均と相乗平均のときに、調和平均やりますか？？→やります！相加平均は、重み付きの平均、つまり内分点の話と繋げることができる！中学受験をしてきている人はみんな知ってる。
・三角形の重心は、なんで重心っていうの？？→おもりの話をしてあげるとつなげられる？？
・コーシーシュワルツの不等式について、どの程度やりますか？？ロシアの人は、コーシーブニャコフスキーの不等式というらしい！！国によって公式や、式の名前変わってくるの面白いですよね。
・コーシーシュワルツの不等式は、証明は簡単ですよね。でもどんな意味があるのだろうか？？→数学Iの範囲の、データの分析の相関係数を要チェック！個人的には、ベクトルの内積から考えると当たり前の式ですよね？という事が素敵でしたね！！
・コーシーシュワルツの不等式は２変数と、３変数について授業研究しておこう！特に、３変数の証明は、思いつくのか…？？解法の発想として、ｎ変数を考えておくべし。
・医学部の単科大学については、重箱の隅を突くような問題はよく出題されるので、やっておこう！積分のときのコーシーシュワルツの不等式チェック！
・クリスマスプレゼント！という事で、回帰直線のプリント！！なぜ、この範囲の途中で、データの分析なのか…？？回帰直線の証明のときに平方完成コーシーシュワルツまで証明している！？！？
・この分野は誤答のストックを増やしていく事が大切では？なぜダメなのかをみんなで考えてみよう！

不等式の理解は、数学の根幹に関わるだろう。