統計学実践ワークブック　第2章例題解説

例1

$${x}$$の周辺確率密度関数$${f_X(x)}$$は周辺確率密度関数の公式より

$$
f_X(x)=\int_{-∞}^{∞}f(x,y)dy
$$

$${x^2+y^2≦1のときf(x,y)=1/π}$$、その他のときは0という条件があるため
$${xの範囲は-1≦x≦1、yの範囲は-\sqrt{1-x^2}≦y≦\sqrt{1-x^2}}$$となる。
よって、$${x}$$の周辺確率密度関数$${f_X(x)}$$は

$$
f_X(x)=\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}・\frac{1}{π}dy\\
=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{π}
$$

$${x}$$を与えたときの$${y}$$の条件付き確率密度関数は公式より

$$
f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\\
=\frac{1}{π}・\frac{π}{2\sqrt{1-x^2}}\\
=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}
$$

例2

対象のベルヌーイ確率変数は$${X=0のとき1-p,X=1のときp}$$をとる
この確率母関数は公式より

$$
G(s)=E[S^X]=\sum{s^xp(x)}\\
=s^0p(0)+s^1p(1)\\
=1-p+ps\\
=1+p(s-1)
$$

二項分布はベルヌーイ試行を任意の回数$${n}$$回繰り返したときのベルヌーイ確率変数の和となるため、二項分布の確率母関数は

$$
G_{bin}(s)=(1+p(s-1))^n
$$

例題

問2.1

(1)$${0≦x≦1,0≦y≦1}$$であり、累積分布関数$${F(x)=1}$$となるため

$$
F(x)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}f(x,y)dxdy\\
=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}c(x+y)dxdy\\
=c\int_{0}^{1}[\frac{1}{2}x^2+xy]_{0}^{1}dy\\
=c\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}+y)dy\\
=c[\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y^2]_{0}^{1}\\
=1
$$

よって、$${c=1}$$

(2)周辺確率密度関数$${f_X(x)}$$は

$$
f_X(x)=\int_{-∞}^{∞}f(x,y)dy\\
=\int_{0}^{1}(x+y)dy\\
=[xy+\frac{1}{2}y^2]_{0}^{1}\\
=x+\frac{1}{2}
$$

(3)Xを与えたときのYの条件つき確率密度関数$${f_{Y|X}(y|x)}$$は

$$
f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{x+y}{x+\frac{1}{2}}
$$

問2.2

公式テキスト解説の分かりにくいポイント
とにかく式と解の導出過程が省かれ過ぎています。
実際は等比数列の和や分数関数の微分の公式などを駆使しないと解けないのですが、公式テキストには全く書かれていないので一つひとつ丁寧に解きほぐしていく必要があります。

確率母関数$${G(s)}$$は

$$
G(s)=E[s^X]=\sum_{0}^{∞}{s^xp(x)}\\
=\sum_{0}^{∞}{s^xp(1-p)^x}\\
=p\sum_{0}^{∞}{((1-p)s)^x}
$$

ここで等比数列$${S_n=\sum_{0}^{n-1}r^x=1+r+r^2+…+r^{n-1}}$$とおくと

$$
rS_n=r+r^2+r^3+…+r^n\\
S_n-rS_n=1-r^n\\
S_n=\frac{1-r^n}{1-r}
$$

これを確率母関数の導入式に代入すると

$$
G(s)=p\sum_{0}^{∞}{((1-p)s)^x}\\
=p\frac{1-((1-p)s)^∞}{1-(1-p)s}\\
=\frac{p}{1-(1-p)s} 
$$

分数関数の微分公式

$$
(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
$$

より、母関数の微分$${G'(s),G''(s)}$$は

$$
G'(s)=\frac{0・(1-(1-p)s)-p・(-(1-p))}{(1-(1-p)s)^2}\\
=\frac{p(1-p)}{(1-(1-p)s)^2}\\
G''(s)=\frac{0・(1-(1-p)s)^2-p(1-p)・2(1-(1-p)s)(-(1-p))}{(1-(1-p)s)^4}\\
=\frac{2p(1-p)^2(1-(1-p)s)}{(1-(1-p)s)^4}\\
=\frac{2p(1-p)^2}{(1-(1-p)s)^3}\\
G'(1)=\frac{p(1-p)}{(1-(1-p))^2}=\frac{p(1-p)}{p^2}=\frac{1-p}{p}\\
G''(1)=\frac{2p(1-p)^2}{(1-(1-p))^3}=\frac{2p(1-p)^2}{p^3}=\frac{2(1-p)^2}{p^2}
$$

$${G'(1)=E[X],G''(1)=E[X(X-1)]=E[X^2]-E[X]}$$であることから
期待値$${E[X]=G'(1)}$$、
分散$${V[X]=E[X^2]-(E[X])^2=G'(1)+G''(1)-(G'(1))^2}$$
とおけるため

$$
E[X]=G'(1)=\frac{1-p}{p}\\
V[X]=G'(1)+G''(1)-(G'(1))^2\\
=\frac{1-p}{p}+\frac{2(1-p)^2}{p^2}-(\frac{1-p}{p})^2\\
=\frac{1-p}{p}+\frac{(1-p)^2}{p^2}\\
=\frac{p(1-p)+(1-p)^2}{p^2}\\
=\frac{(p+1-p)(1-p)}{p^2}\\
=\frac{1-p}{p^2}
$$

問2.3

モーメント母関数$${m(θ)}$$は、離散ではなく連続の確率変数のため確率関数$${f(x)}$$を積分するものとして以下のように求められる

$$
m(θ)=E[e^{θx}]=G(e^θ)=\int_{0}^{∞}e^{θx}f(x)\\
=\int_{0}^{∞}e^{θx}λe^{-λx}\\
=λ\int_{0}^{∞}e^{(θ-λ)x}\\
=λ[\frac{1}{θ-λ}e^{(θ-λ)x}]_{0}^{∞}\\
=λ(0-\frac{1}{θ-λ})\\
=\frac{λ}{λ-θ}\\
m'(θ)=\frac{λ}{(λ-θ)^2}\\
m''(θ)=\frac{-λ(-2(λ-θ))}{(λ-θ)^4}=\frac{2λ}{(λ-θ)^3}
$$

$${m'(0)=E[X],m''(0)=E[X^2]}$$と定義できることから、期待値と分散は

$$
E[X]=m'(0)=\frac{1}{λ}\\
V[X]=E[X^2]-(E[X])^2\\
=m''(0)-(m'(0))^2\\
=\frac{2}{λ^2}-(\frac{1}{λ})^2\\
=\frac{1}{λ^2}
$$