統計学実践ワークブック　第1章例題解説

統計検定準一級の勉強をしているのですが、範囲が膨大すぎるうえ公式解説が分かりにくいので挫折しそうです・・・。
読んで分かった気になっている箇所もあると思うので、この場でアウトプットすることで理解を深めていくことが目的です。
誰かのお役に立てれば幸いです。

例1

包除原理より、AまたはBの少なくとも一方を見た生徒は

$$
P(A∪B)
=P(A)+P(B)−P(A∩B)
=20+15−5
=30
$$

いずれも見なかった生徒の数は 50−30=20名です。

例題

問1.1

（１）0.44
　女子の合格率×女子の比率＋男子の合格率×男子の比率
　$${0.5×0.4+0.4×0.6=0.44}$$

（２）5/11
　ランダムに選んだ1人が女子である事象をW、入試に合格する事象をSとする
　$${P(S)=0.44}$$
　ベイズの定理より

$$
P(W|S)=\frac{P(S|W)P(W)}{P(S)}=\frac{0.5×0.4}{0.44}=5/11
$$

問1.2

（１）期待値：2/5　分散：7/12
　$${P(X=1)=P(X=2)}$$であり、1,2,3はそれぞれ少なくとも1つ以上書かれているので
　$${P(X=1)=P(X=2)=1/6または1/3}$$となる。
　期待値は2より大きいとのことなので、$${P(X=1)=P(X=2)=1/3}$$とした場合期待値が2となり当てはまらない。
　よって$${P(X=1)=P(X=2)=1/6かつP(X=3)=4/6}$$
　これにより期待値は
　$${E[X]=1×1/6+2×1/6+3×4/6=15/6=5/2}$$
　分散は
　$${V[X]=E[X2]−(E[X])2=1/6+4/6+36/6−25/4=7/12}$$
（２）8/9
　確率$${P(Y=3)P(Y=3)}$$を求めるには、余事象としてサイコロを2回投げて両方とも2以下になる確率を求めればよい。

$$
P(X≦2)=1/3\\
P(Y=3)=1−(P(X≦2))2=1−1/9=8/9
$$

問1.3

（１）1/3
　条件付き確率「陽性と診断された時に病気である確率」を求める。
　$${X_1}$$:検査1のとき病気にかかっている
　$${Y_1}$$:検査1で陽性
　という事象として定義すると、問題文より以下の通り確率が求められる。
　$${P(X)=0.01、P(X^c)=0.99、P(Y_1|X)=0.99、P(Y_1|X^c)=0.02}$$
　求める確率は、ベイズの定義より

$$
P(X|Y_1)=\frac{P(Y_1|X)}{P(X)}=\frac{P(Y_1|X)P(X)}{P(Y_1|X)P(X)+P(Y_1|X^c)P(X^c)}\\
=\frac{0.99×0.01}{0.99×0.01+0.02×0.99}
=1/3
$$

（２）9/11

公式テキスト解説の分かりにくいポイント
前段で説明の無かった同時確率の記述が出てきます。
私は解説の$${P(X|Y_1,Y_2)P(X|Y_1,Y_2)}$$の「,,」って何？？？って混乱しました。
$${P(X|(Y_1∩Y_2))P(X|(Y_1∩Y_2))}$$と書けばまだ分かりやすいのですが、導出が複雑になるので書籍解説は異なるやり方を紹介することとします。

$${X_2}$$:検査2のとき病気にかかっている
$${Y_2}$$:検査2で陽性
として定義する。
”検査2は検査1で陽性と診断された者に対して行う”とのことなので、
$${P(X_2)=P(X_1|Y_1)P(X_2)=P(X_1|Y_1)}$$と置くことができる。
問題文より以下の通り確率が求められる。

$$
P(Y_2|X_2)=0.9、P(Y_2|X_2^c)=0.1、P(X_2)=P(X_1|Y_1)=1/3、\\
P(X_2^c)=1−P(X_2)=2/3
$$

求める確率は、ベイズの定理より

$$
P(X_2|Y_2)
=\frac{P(Y_2|X_2)P(X_2)}{P(Y_2)}\\　=\frac{P(Y_2|X_2)P(X_2)}{P(Y_2|X_2)P(X_2)+P(Y_2|X_2^c)P(X_2^c)}\\
=0.9×1/30.9×1/3+0.1×2/3\\
=9/11
$$