統計学実践ワークブック　第4章例題解説

この章以降から段々難易度が上がってきます。
挫折しやすい箇所ですが頑張っていきたいと思います。

例1

標準正規分布に従う$${X}$$の確率密度関数$${f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}exp(\frac{-x^2}{2})}$$であり、$${Y=X^2}$$が従う確率密度関数$${g(y)}$$を累積分布関数の微分と考えると

$$
g(y)=\frac{d}{dy}P(X^2<y)\\
=\frac{d}{dy}P(-\sqrt{y}<X<\sqrt{y})\\
=\frac{d}{dy}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x)dx\\
=\frac{d}{dy}(F(\sqrt{y})-F(-\sqrt{y}))\\
=\frac{d\sqrt{y}}{dy}・\frac{d}{d\sqrt{y}}F(\sqrt{y})-\frac{d(-\sqrt{y})}{dy}・\frac{d}{d(-\sqrt{y})}F(-\sqrt{y})\\
=\frac{d\sqrt{y}}{dy}f(\sqrt{y})-\frac{d(-\sqrt{y})}{dy}f(-\sqrt{y})\\
=\frac{1}{2\sqrt{y}}f(\sqrt{y})-\frac{1}{-2\sqrt{y}}f(-\sqrt{y})\\
=\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{1}{\sqrt{2π}}exp(\frac{-y}{2})+\frac{1}{2\sqrt{y}}\frac{1}{\sqrt{2π}}exp(\frac{-y}{2})\\
=\frac{1}{\sqrt{2πy}}exp(\frac{-y}{2})
$$

例題

問4.1

(1)モーメント母関数$${m(θ)=E[exp(θx)]}$$であるため、$${θ=1}$$のとき$${Y}$$の期待値$${E(Y)=E[exp(x)]}$$を求めることができる。

$$
m(θ)=G(exp(θx))=\int exp(θx)f(x)dx\\
=\int exp(θx)\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}exp[-\frac{(x-u)^2}{2σ^2}]dx\\
=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\int exp[θx-\frac{(x-u)^2}{2σ^2}]dx\\
=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\int exp[\frac{2θσ^2x-x^2+2ux-u^2}{2σ^2}]dx\\
=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\int exp[\frac{-x^2+2(θσ^2+u)x-u^2}{2σ^2}]dx\\
=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\int exp[-\frac{(x-(θσ^2+u))^2-(θ^2σ^4+2θuσ^2)}{2σ^2}]dx\\
=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\int exp[-\frac{(x-(θσ^2+u))^2}{2σ^2}+(\frac{θ^2σ^2}{2}+θu)]dx\\
=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}exp(\frac{θ^2σ^2}{2}+θu)\int exp[-\frac{(x-(θσ^2+u))^2}{2σ^2}]dx\\
$$

ここでガウス積分の公式$${\int_{-∞}^{∞}exp(-αt^2)dt=\sqrt{\frac{π}{α}}}$$を用いて、上記の式に対して$${\frac{1}{2σ^2}=α,x-(θσ^2+u)=t}$$と変換すると

$$
\int exp[-\frac{(x-(θσ^2+u))^2}{2σ^2}]dx=\int exp(-αt^2)dt=\sqrt{\frac{π}{α}}=\sqrt{2πσ^2}
$$

よって

$$
m(θ)=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}exp(\frac{θ^2σ^2}{2}+θu)\int exp[-\frac{(x-(θσ^2+u))^2}{2σ^2}]dx\\
=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}exp(\frac{θ^2σ^2}{2}+θu)・\sqrt{2πσ^2}\\
=exp(\frac{θ^2σ^2}{2}+θu)
$$

$${θ=1}$$のとき$${Y}$$の期待値$${E(Y)}$$は

$$
E(Y)=E[exp(x)]=m(1)=exp(\frac{σ^2}{2}+u)
$$

(2)分散と期待値の公式より$${V[Y]=E[Y^2]-(E[Y])^2}$$となるため、まず$${E[Y^2]}$$を求めてから$${V[Y]}$$を導く。

$$
E[Y^2]=E[(exp(x))^2]=E[exp(2x)]=m(2)=exp(2σ^2+2u)\\
$$

$$
V[Y]=E[Y^2]-(E[Y])^2\\
=exp(2σ^2+2u)-(exp(\frac{σ^2}{2}+u))^2\\
=exp(2σ^2+2u)-exp(σ^2+2u)\\
$$

(3)$${y=exp(x)}$$に対する変数変換を行う。
$${Y}$$の確率密度関数$${h(y)}$$は変数変換の公式より

$$
h(y)=\frac{f(x)}{|g'(x)|}\\
=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}exp[-\frac{(x-u)^2}{2σ^2}]/|exp(x)|
$$

ここで$${y=exp(x)}$$より$${x=logy}$$と変換できるので

$$
h(y)=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}exp[-\frac{(x-u)^2}{2σ^2}]/|exp(x)|\\
=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}exp[-\frac{(logy-u)^2}{2σ^2}]/|y|\\
=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}y}exp[-\frac{(logy-u)^2}{2σ^2}]
$$

問4.2

$${Z=X+Y,W=Y}$$として$${Z,W}$$の同時確率密度関数を求める。
$${X=Z-W,Y=W}$$であり、変数変換後の同時確率密度関数を$${g(z,w)}$$とすると

$$
g(z,w)=f(x)f(y)・J(X,Y)\\
=f(z-w)f(w)・J(X,Y)\\
=f(z-w)f(w)・\begin{vmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{vmatrix}\\
=f(z-w)f(w)\\
=λe^{-λ(z-w)}・λe^{-λw}\\
=λ^2e^{-λz}
$$

ここで$${Z}$$の確率密度関数は周辺確率密度関数の定理より$${\int_{-∞}^{∞}g(z,w)dw}$$と表すことができる。前提として確率変数は非負であり$${X≧0,Y≧0}$$であるため、$${Z-W≧0}$$であり、$${0≦W≦Z}$$となる。
よって$${Z}$$の確率密度関数は

$$
\int_{0}^{z}f(z-w)f(w)dw=\int_{0}^{z}λ^2e^{-λz}dw\\
=λ^2ze^{-λz}
$$