代数拡大と部分環の商体
成り立たない気がしてるけど、どうなんやろ pic.twitter.com/IxsqDbUprE
— hrmch (@SugakuNotebook) May 30, 2024
これを友人J.K.に相談したところ進展があった.この命題が成り立つことと$${K/\mathbb{Q}}$$が代数拡大であることが同値になるのだ.さらに$${L/K}$$に対して命題を適切に書き換えると,$${L/K}$$が代数拡大であることと命題が成り立つことが同値になる.具体的には以下である.
$${L/K}$$を体の拡大とする.以下は同値である.
(1)$${L/K}$$は代数拡大である.
(2)$${L}$$の任意の部分環$${A,B}$$について,
$${\mathrm{Frac}(A)=\mathrm{Frac}(B)=L,\mathrm{Frac}(A\cap B\cap K)= K\implies\mathrm{Frac}(A\cap B)=L.}$$
本稿はその証明である.なお証明はほぼJ.K.のアイデアである.
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