代数拡大と部分環の商体

まなか

これを友人J.K.に相談したところ進展があった．この命題が成り立つことと$${K/\mathbb{Q}}$$が代数拡大であることが同値になるのだ．さらに$${L/K}$$に対して命題を適切に書き換えると，$${L/K}$$が代数拡大であることと命題が成り立つことが同値になる．具体的には以下である．

$${L/K}$$を体の拡大とする．以下は同値である．
(1)$${L/K}$$は代数拡大である．
(2)$${L}$$の任意の部分環$${A,B}$$について，
$${\mathrm{Frac}(A)=\mathrm{Frac}(B)=L,\mathrm{Frac}(A\cap B\cap K)= K\implies\mathrm{Frac}(A\cap B)=L.}$$

本稿はその証明である．なお証明はほぼJ.K.のアイデアである．

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