【数学】円と放物線との交点

対象：定期試験以上

今回は　円と放物線の交点　についてです

円を少し下側にずらすと円と放物線は4つの交点をもちます
このとき　交点の$${y}$$座標は2つあります
円を上にずらすと　この2つの$${y}$$座標が重なるので　重解ということになります
ちょっとずらして考えたときに　2つの解が重なったもの
として考えることができれば　それは重解となります

一方 $${y}$$を消去して考えると

円を同様に下側に少しずらすと　交点の$${x}$$座標は4つ存在します
$${y}$$軸に関する対称性からこれらの4つは
$${\pm \alpha，\ \pm \beta}$$とおけて
接する状態では　$${\alpha}$$と$${\beta}$$が重なるので重解となります
よって　接するときの交点の$${x}$$座標は　2つの重解$${\pm \alpha}$$ の2つとなり
4次方程式ですから　$${(x-\alpha)^2(x+\alpha)^2}$$　と因数分解されることとなります