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【数学】領域02二変数関数の最大最小

対象:定期試験以上

ここでは 2変数関数(定義域は限定領域)の最大最小問題 を扱います
数学Iの2次関数の分野において
既に「二変数関数の最大最小」は扱っています

ところが そこで扱ったのは
①独立二変数 (2つの変数がすべての実数を自由に動くもの)
②従属二変数 (条件から1文字消去して1変数にできるもの)
を扱いました

今回は 独立二変数ですが 2つの変数は限定領域内でしか動けない場合です

まずは1問見てみましょう
教科書等にもある問題です








領域内の点($${(x,y)}$$)に対して $${3x+2y=k}$$ とおくと
$${k}$$の値は ①のグラフの$${y}$$切片$${\dfrac{k}{2}}$$として図形的な意味をもちます
したがって ①のグラフが領域$${D}$$と交わるときの 切片の最大値最小値を考えることにより 解答が得られます

例えば $${k=100}$$ となることがあるでしょうか?
$${k=100}$$のとき ①は$${y=-\dfrac{3}{2}x+50}$$ となって
領域$${D}$$と交わりません
これを言い換えると 領域$${D}$$内の点$${(x,y)}$$で
$${3x+2y=100}$$ となるような点$${(x,y)}$$は存在しないということです
したがって $${k=100}$$ とはなり得ない ということになります
(いわゆる 逆像法 とよばれる解法です)


もう1問やりましょう
解法は同じく 「グラフをかき視覚的に考える」です







前問は $${k}$$の値が切片と関係していましたが
今回は (1)では「原点との距離(の2乗)」,(2)では「傾き」となります
いずれの場合も 視覚的に考えることによって 最大最小をとらえましょう

もちろん 問題によっては,最大(最小)の候補がいくつかあって
「これは見た目だけじゃわからず,具体的な計算をしてみないと」
というものがあります

今回はここまでです


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